Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 144

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A segunda questão que vou tratar é a questão 144.

Enunciado

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por:

Alternativas

a) 9! / 2!
b) 9! / (7! * 2!)
c) 7!
d) (5! / 2!) * 4!
e) (5! / 4!) * (4! / 3!)

Desenvolvimento

Essa questão é facilmente resolvida por alguém que saiba a equação que calcula o número de combinações em um conjunto. Mas, mesmo para quem não sabe essa equação, é possível obter o resultado com um desenvolvimento das combinações possíveis.

Talvez não esteja claro na imagem acima, mas há 9 locais vagos para as 7 pessoas da família. Assim sendo, para a primeira pessoa há 9 possibilidades de assentos. Para a segunda pessoa restaram 8 possibilidades. Para a terceira pessoas sobraram 7 possibilidades. Esse raciocínio segue até a sétima pessoa, para a qual restará 3 possibilidades. Ao acomodar toda a família ainda restarão 2 lugares vagos, já que tínhamos 9 assentos para 7 pessoas.

Calculando o produto das possibilidades chegaremos ao seguinte número de permutações:

Número de Permutações = 9*8*7*6*5*4*3

Vamos lembrar que 9! é igual a:

9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

Para "transformar" esse 9! na quantidade de possibilidades que encontramos, precisamos eliminar o 2 e o 1 (eliminamos o 1 é só para evidenciar o padrão utilizado, já que ele não faz nada no produto). Para eliminar esses termos precisamos dividir 9! por 2*1. Mas 2*1 é igual a 2!. Assim:

9! / 2! = (9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (2*1) = 9*8*7*6*5*4*3 = Número de Permutações

É isso nesse post. Encontrou algum erro? Tem alguma sugestão ou crítica? Por favor, deixe um comentário! Assim que eu tiver tempo (o que deve ocorrer nos finais de semana) eu leio!

Abraço a todos!