Soma Infinita: +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1... = 0,5

Olá a todos. Iniciando com atraso os posts desse novo ano maravilhoso que é 2016, que já nos brindou com um dia a mais no mês de fevereiro, vamos trabalhar uma questão interessante cujos desdobramentos são de explodir a mente: se somarmos um e subtrairmos um infinitamente, chegamos a qual resultado?

Já adianto que existem 3 respostas possíveis para esse problema, Duas são diretas e, na minha opinião, desinteressantes. A terceira é o foco desse post, pois é a mais legal. Sem mais delongas, vamos iniciar.

Primeira resposta: 0

Para chegar nessa resposta simples, vamos combinar uma notação. Vamos dizer que essa soma que queremos calcular se chama S. Assim eu tenho a seguinte equação:

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

Nós poderíamos adicionar parênteses no lado direito dessa equação sem alterar o sentido dela. Assim ela se torna:

S = (+ 1 - 1) + (+1 - 1) + (+1 - 1) + (+1 - 1) + ...

Cada agrupamento de (+1 - 1) resulta, obviamente, em 0. Assim nós poderíamos reescrever a equação como sendo:

S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

S = 0

Segunda resposta: +1

Para chegar nessa resposta vamos utilizar um recurso similar ao utilizado anteriormente. Porém, dessa vez, deixaremos a primeira parcela fora dos parênteses, reescrevendo a equação da seguinte forma:

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

S = + 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + ...

Novamente chegamos a uma situação em que cada agrupamento no interior dos parênteses vale 0. Poderíamos então reescrever a equação na forma:

S = +1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

S = +1

Terceira resposta: +0,5

Essa resposta é um pouco mais elaborada que as outras, mas igualmente compreensível e muito mais interessante. Vamos começar escrevendo a seguinte equação já conhecida.

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... (Equação 1)

Nós poderíamos multiplicar ambos os lados da equação por (-1) sem alterar a igualdade. Ou seja, podemos trocar o sinal de tudo sem alterar a equação, reescrevendo-a da seguinte forma:

- S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (Equação 2)

Perceba que eu nomeei arbitrariamente as equação somente por propósitos explicativos. Eu vou reescrever agora a equação 1 colocando parênteses que se estendem até o infinito após o primeiro termo:

S = + 1 + (- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...)

Note que tudo que está dentro dos parênteses é igual a equação 2, que é igual a -S. Então podemos reescrever:

S = + 1 - S

Isso nos leva que 2*S = +1 e que S = +0,5.

Fantástico. Demonstramos que a soma infinita de termos inteiros pode resultar em um termo não inteiro. Mas entendo que a resposta cause desconforto, então forneço uma interpretação pessoal. Imagine que você não tenha dinheiro algum, e um amigo seu lhe dá durante um dia 1 real (o que equivale a somar um), mas no dia seguinte lhe toma de volta esse 1 real (o que equivale a subtrair um). Ou seja, durante um dia você tem um real e durante o dia seguinte não tem nada novamente. Você pode interpretar que você continua sem nada (resposta 1), que está 1 real mais rico (ou menos pobre, resposta 2) ou que, na média, você tem 50 centavos (meio real, resposta 3).

Por hoje era isso. Para dúvidas, sugestões e/ou críticas, deixe um comentário. Lerei-os com prazer. Abraço e até a próxima.

Magnetismo e Lei de Ampère

Olá a todos. Hoje vou comentar sobre magnetismo e campo magnético, para podermos estudar os indutores. Essa matéria é bastante interessante e acredito que vai ser legal falar sobre ela. Mas o que é magnetismo? O que é Lei de Ampère? E por que isso nos interessa? Essas perguntas serão discutidas neste post.

O magnetismo é a denominação para alguns fenômenos naturais relacionados a atração ou repulsão de objetos. Eles foram inicialmente observados em objetos chamados imãs, que possuem naturalmente essas propriedades magnéticas. Foi percebido que ao redor desse imã aparecia um campo vetorial, que foi denominado campo magnético. Também foi percebido que esse imã possuía duas regiões opostas, que foram chamadas de pólos. Observou-se que, ao cortar um imã, os dois pedaços resultantes também possuíam dois pólos. E, conforme efetuava-se repetidos cortes, sempre apareciam os mesmos dois pólos nos pedaços resultantes. Esse curioso fenômeno foi denominado "inseparabilidade dos pólos". Por convenção, esses pólos foram chamados de "Norte" e "Sul".


Mas o que dá ao imã essas estranhas propriedades magnéticas? Essa pergunta ficou em aberto por muito tempo, até se descobrir o que criava um campo magnético. Marinheiros já haviam percebido que raios durante tempestades podiam "confundir" as bússolas usadas na navegação. Mais tarde o cientista dinamarquês Hans Christian Ørsted fez um experimento e anunciou que uma corrente elétrica que percorre um fio consegue desviar a agulha de uma bússola, pelo fato de criar um campo magnético ao seu redor. Neste ponto se viu a ligação entre eletricidade e magnetismo, o que permitiu a unificação de dois ramos da física (Eletricidade e Magnetismo) dando origem ao que se conhece por Eletromagnetismo.


Mas com isso ainda não respondemos o que concede ao ímã suas propriedades magnéticas. Bem, percebeu-se que a corrente criava um campo magnético. Mas corrente é o fluxo de cargas elétricas. Assim, percebeu-se que cargas elétricas em movimento criam, além do campo elétrico, um campo magnético. Mas no ímã, onde estão as cargas elétricas em movimento? Bem, os átomos do ímã contêm elétrons, que estão sempre em movimento. Porém no ímã esses elétrons tem uma propriedade interessante: eles possuem todo o mesmo "spin". Spin é popularmente definido como o sentido de rotação do elétron. Apesar de ser incorreta, essa definição servirá para nós. Como todos os elétrons se movem no mesmo "sentido", o campo que cada um cria é somado com o dos outros, resultando em um campo magnético significativo em torno do ímã.

Porém o conhecimento de que uma corrente elétrica criava um campo magnético nos possibilitou a criação de eletroímãs. Geralmente feito com bobinas (que são fios enrolados), eles criam um campo magnético quando uma corrente elétrica os atravessa. Nesses eletroímãs também ocorre a existência de pólos, sendo um o Sul e o outro o Norte. Os eletroímãs e seu domínio possibilitaram a criação de diversos dispositivos eletromecânicos, como os relés, os motores, os geradores de eletricidade, etc.


A tal Lei de Ampère é justamente a lei que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente elétrica que o atravessa. Evitarei nessa postagem uma abordagem mais matemática, devido a sua maior complexidade. Porém, em posts futuros, é possível uma retomada mais rigorosa a esse tópico.

E com isso eu encerro a postagem dessa semana sobre magnetismo. Eu admito que achei a postagem um tanto superficial, porém o objetivo do post é abrir caminho para estudarmos os indutores. Por isso estou satisfeito com o conteúdo dessa postagem. Futuramente prometo um aprofundamento nesse tópico que é, sem sombra de dúvida, fascinante. Abraço e até a próxima!

Eletrostática e Lei de Coulomb

Hahaha! Que mancada a minha! Comecei a falar sobre campo elétrico aqui no blog, e vi que nem tinha comentado nada sobre eletrostática e nem Lei de Coulomb. Com o intuito de consertar meu erro, falarei hoje sobre os conceitos fundamentais da eletrostática. Então, sem mais delongas, vamos começar. Nossa primeira meta é responder: O que é eletrostática?

Vamos começar respondendo a partir da definição etimológica de eletrostática. A palavra vem da união das palavras gregas elektron + statikos. Elektron vem de âmbar, primeiro material onde se observou propriedades elétricas (a palavra eletricidade tem origem semelhante), enquanto o termo statikos vem de estático, algo que não muda, parado. Então podemos concluir, neste primeiro momento, que a eletrostática estuda as propriedades elétricas das cargas em repouso, e suas interações. Lembremos, por exemplo, daquela velha máxima: os opostos se atraem. Isso realmente ocorre com as cargas elétricas e iremos falar mais sobre isso.

Mas o que seriam cargas elétricas? Fundamentalmente, não sei responder essa pergunta. O que sabemos (em nível de humanidade) é que a carga elétrica é uma das propriedades da matéria, como a massa. As partículas que contém essa propriedade são o próton (cuja carga é chamada positiva) e o elétron (cuja carga é chamada negativa). Essas partículas, juntos com os nêutrons (estes não possuem a propriedade da carga elétrica), formam os átomos. Mas o que essas partículas tem de tão especial?

É que entre essas partículas, ditas possuidoras de carga, aparecem forças de atração ou repulsão. A força é de repulsão se as duas partículas tiverem mesma carga (ambas positivas ou ambas negativas) e de atração se as cargas forem opostas. Foi daí que surgiu aquele velho ditado "os opostos se atraem". (apesar de eu achar que essa teoria continua válida para os seres humanos :)



Mas como podemos calcular a intensidade dessas forças? Aí que entra a famosa Lei de Coulomb, que é uma fórmula que nos permite calcular a força elétrica criada por duas cargas. Medições experimentais comprovaram que a Lei de Coulomb, que nos informa a força, é a seguinte:



Onde é o módulo do vetor da força, e são os módulos das cargas das partículas em questão, d é a distância entre as duas cargas e k é uma constante, chamada Constante de Coulomb ou Constante Eletrostática, e vale .

A força resultante dessa interação terá direção igual a da "reta imaginária" que liga as duas cargas. Quanto ao sentido, já dissemos que será de afastamento em cargas iguais, e de atração em cargas opostas. Isso pode ser visualizado na imagem abaixo:


Também vemos pela expressão da Lei de Coulomb que, conforme a distância aumenta, a força diminui. Na sequência há o gráfico que descreve o comportamento da força em função da distância entre as cargas:


E era isso por hoje. Aqui apresentei o básico sobre cargas elétricas e suas interações. Por fim, é interessante comentar brevemente como se dá essas interações. Elas são intermediadas por uma "entidade" conhecida por campo elétrico. Todo corpo eletricamente carregado cria, ao redor de si, um campo elétrico. Para saber um pouco mais sobre ele, você pode usar o link abaixo para ir diretamente à postagem sobre campo elétrico.

Uma Introdução ao Campo Elétrico

Uma Introdução ao Campo Elétrico

Olá galera. Como vão as coisas? Comigo vai tudo bem, não que eu ache que alguém se interesse. Mas vamos ao assunto de hoje. Hoje falarei um pouco sobre campo elétrico. Tratarei hoje do campo elétrico gerado por cargas puntuais. Então, vamos nessa...

Mas antes, o que é campo elétrico? Primeiro devemos saber o que seria um campo. Existem basicamente dois tipos de campo: Escalar e Vetorial. Um campo escalar é uma determinada região do espaço onde a cada ponto está determinado um valor escalar. Imagine a temperatura. Ela é uma grandeza escalar. Se fizéssemos a medição da temperatura em cada ponto de uma sala, teríamos um campo da temperatura. O outro campo é o vetorial. Nele, para cada ponto está associado não mais uma grandeza escalar, mas um vetor, com módulo, direção e sentido. Como exemplo desse tipo de campo pode-se citar o campo gravitacional e o nosso objeto de estudo, o campo elétrico.

Imagine uma sala completamente vazia. Vamos desprezar a gravidade e a presença do ar. Então, no centro dela, colocamos uma determinada carga q1 e, perto dela, uma carga q2. Aparecerá entre essas cargas um par de forças, que poderá ser de atração ou de repulsão. Mas o que causa essa ação à distância? Essa força é causada pela ação do campo elétrico que é criado pela presença de carga. Quanto mais forte o campo, maior a força que aparece sobre a carga q2. Dessa forma, definimos o campo elétrico como:



Onde:

* é o campo elétrico no ponto P onde está a carga q2;
* é a força de atração ou repulsão na carga q2;
* q2 é a carga no ponto P, chamada de carga de prova, pois serve para provar a existência do campo elétrico;

Mas a Lei de Coulomb nos diz que:

onde

Obs.: é a constante de permissidade e:

Substituindo na equação do campo elétrico, obtemos:




Vimos que q2 foi eliminado da equação do campo elétrico. Isso nos leva a duas conclusões interessantes. O valor da carga de prova não altera o valor do campo elétrico no ponto P e o campo elétrico existe de forma independente à carga de prova. Ou seja, mesmo que não exista uma carga de prova, haverá um campo elétrico nas mediações de uma carga. Lembrando que essa equação é válida para uma carga puntiforme, ou seja, concentrada em um único ponto.

Mas qual o "desenho" do campo elétrico? Considere uma carga puntual de módulo |q1|. Se seu sinal for positivo, o campo possui linhas que saem da carga. Caso contrário, se a carga for negativa, o campo possui linhas que entram (ou como se diz, morrem) na carga. Isso pode ser visualizado no desenho abaixo.

A força gerada pelo campo funciona da seguinte maneira. Considere uma carga de prova q2 , que tenha um módulo pequeno em relação à carga que gera o nosso campo em questão. Se ela for positiva, ela se moverá no mesmo sentido das linhas de campo. Se ela for negativa, se moverá no sentido contrário. Dessa forma mantemos a velha máxima de cargas opostas se atraem e iguais se repelem. Então, segundo esse modelo, podemos afirmar que o intermediador entre as forças de ação e reação entre as cargas são as interações entre os campos elétricos, como já havíamos falado anteriormente.

No caso de existirem duas cargas elétricas pontuais, cada uma criando um campo elétrico ao seu redor, podemos descobrir o campo E em um ponto P somando os campos criados pelas cargas q1 e q2.
Para entender, imagine que queremos saber o vetor do campo elétrico no ponto P. Então colocamos uma carga de prova nesse ponto. Assim aparecerá sobre ele uma força . Então sabemos de antemão que o campo no ponto P tem a mesma direção de e pode ser calculado por:



Porém, essa força é a soma das forças causadas por cada uma das cargas individualmente, ou seja:



Substituindo na expressão acima, temos que:







De onde concluímos uma propriedade importante do campo elétrico, que é o princípio da superposição. O campo elétrico no ponto P causado por n cargas puntuais é dado pela soma do campo criado por cada carga individualmente no ponto P. É bastante fácil estender a demonstração acima para n cargas. Por isso, para economizar espaço, não a demonstrarei aqui.



Para encerrar, gostaria de comentar sobre o campo gerador por duas cargas de mesmo módulo próximas. Observe a figura acima. Na primeira imagem vemos dois campos criados por cargas positivas. As linhas nascem nas cargas e dela se afastam. Então temos uma configuração semelhante a da figura, onde parece que as linhas de campo se "evitam". Vale visualizar que na primeira figura há um ponto onde o campo elétrico é nulo. Esse ponto se localiza exatamente entre as duas cargas, lembrando que ambas tem o mesmo módulo. Se uma carga de prova fosse colocada naquele ponto, a soma das forças se anularia e a carga permaneceria em repouso. Na figura dois temos duas cargas de sinais contrários próximas, o que define um Dipolo Elétrico. As linhas de campo nascem na carga positiva e morrem na carga negativa. Com isso temos uma configuração como a exemplificada acima, que estudaremos mais adiante.

Era isso por enquanto. Aprendemos o básico sobre o campo elétrico criado em torno de uma ou mais cargas puntuais. Mas adiante eu me aprofundarei sobre o campo criado por Dipolos Elétricos, que são, em minha opinião, mais interessantes e desafiadores. Enquanto isso, continuem estudando. Até a próxima!

As Bases Matemáticas da Tensão Alternada

Olá a todos. Venho através deste post lançar as bases matemáticas para o estudo e a compreensão dos fenômenos em tensão alternada. Dessa forma, é possível para eu fazer um post sobre tensão alternada sem me preocupar se alguém não irá compreender alguma expressão ou ideia. Espero que este post fique bastante claro e que todos tenham suas dúvidas esclarecidas, podendo então aprofundar um pouco mais o estudo da tensão alternada.

Primeiro ponto que será abordado será a função trigonométrica que representa um sinal alternado. A função em questão assume a seguinte forma:



Essa é uma função, que relaciona valores de tensão (variável dependente) a valores de tempo (variável independente). Como podemos ver, essa função envolve o seno. De que maneira? O sinal estudado em questão é uma senóide, que se origina da função seno. Porém a função seno assume valores de, no máximo, 1 e -1. Por isso essa função seno é multiplicada pelo valor de tensão de pico, para que o gráfico do sinal "alcance" os valores de pico positivo e negativo.

Outra característica importante no estudo de uma função é o estudo de sua raiz, ou como se chama, o zero da função. Assumindo que vemos que iremos obter:



Delta theta () representa a fase inicial do sinal. Se esse termo não existir (ou seja, for zero) significa que o sinal começa no ponto zero. Se esse termo não for nulo, isso significa que a tensão no instante zero não será zero, mas corresponderá ao seno de multiplicado pelo valor de tensão de pico. É interessante observar que se corresponder a 90º, a tensão no instante zero será igual ao valor de pico positivo (para +90°) ou negativo (para -90°). Com isso, dizemos que o sinal tem uma fase inicial de . Também gostaria de deixar claro que existem outras letras gregas que também são usadas para representar esse ângulo.

O segundo ponto a ser abordado é a representação por números complexos. Gostaria de começar explicando o que são números complexos. Na escola aprendemos que não existe nenhum número real que seja raiz de um número negativo. Isso é verdade, não há nenhum número real que satisfaça essa propriedade. Porém o que não é explicado é que existem números que não são reais e resolvem, por exemplo, a seguinte expressão:



Os números que resolvem raízes negativas são chamados imaginários. Veja a linha de raciocínio seguida pelos matemáticos:

* -4 pode ser obtido pela multiplicação de -1 por 4, então:



* Raiz quadrada de quatro, como bem sabemos, é dois. Então:



* Agora vamos supor que exista uma unidade chamada tal que , então:



E assim foi criado o conceito de número imaginário. Um número que, a princípio, não existe, mas nos serve para resolver equações.

Sendo assim, com o passar do tempo, a conhecida reta real (a reta que contém todos os números reais) ganhou mais um eixo perpendicular, o eixo imaginário. Assim é possível dispor todos os números conhecidos em um plano cartesiano, identificando-os pela sua parte real e pela sua parte imaginária.

Com isso foi percebido uma outra forma de representar esses mesmos números, conhecida como forma polar. Na forma polar, a gente informa o módulo (o comprimento) do vetor, e o ângulo entre esse vetor e o eixo "x" (eixo real). Mas é importante, quando se trabalha com os números complexos, ter a capacidade de converter da representação cartesiana para a forma polar. Isso é muito fácil e a explicação segue abaixo:


Quando temos a representação cartesiana, temos um número na forma . Esse número tem uma parte no eixo real e uma parte no eixo imaginário. Para determinar o módulo desse número, basta simplesmente aplicarmos o teorema de pitágoras. Então temos:



O ângulo desse número pode ser descoberto achando-se a tangente do número e depois aplicando a função ou . Então temos que:

com o ângulo em graus ou radianos, dependendo da programação de sua calculadora.

Para converter da forma polar para a cartesiana usamos um processo que é muito mais simples. Teremos um número na forma e teremos que passar para a forma onde:



e

.

Mas por que devemos aprender a fazer essa conversão, se as duas formas representam a mesma coisa? O principal motivo é que é mais comum, na área elétrica/eletrônica, representarmos na forma polar. Porém é muito mais simples efetuar somas e subtrações na forma cartesiana. Por isso é importante, para facilitar nossos cálculos, dominar essa técnica de conversão.

Para somar, usamos a forma cartesiana. A soma consiste em simplesmente somar as partes reais com as partes reais, e as partes imaginárias com as partes imaginárias. A subtração consiste no mesmo processo, porém diminuindo as partes reais e imaginárias.

Para multiplicar ou dividir, convém que os números estejam na forma polar. Para multiplicar na forma polar, nós multiplicamos o módulo e somamos os ângulos. Para dividir, basta dividir os módulos e subtrair os ângulos. Bastante simples.





Outra coisa que pode ser importante, para somar e subtrair usando o diagrama fasorial, é aprender a somar e subtrair vetores. Para isso usamos, principalmente, a regra do paralelogramo. Ele é um método geométrico bastante simples.

Consiste, basicamente, em desenhar os dois vetores com um mesmo ponto de origem e, a partir deles, traçar um paralelogramo. O vetor resultante da soma será aquele que vai do vértice de origem até o vértice oposto do paralelogramo. A figura abaixo exemplifica muito bem o método:

Para diminuir um vetor de outro, usamos o mesmo método, porém com uma observação. Se precisarmos efetuar , desenharemos o vetor e, ao desenharmos o vetor nós o inverteremos, ou seja, iremos girá-lo 180°. Após isso, é só efetuar a soma pelo método do paralelogramo.



Com isso, espero que ninguém tenha dificuldades para compreender a análise do sinal alternado, que envolve bastante da matemática aqui explicada. Qualquer dúvida, estamos aí e não se esqueçam, estudem muito!!! Abraço e até semana que vem.