Decibéis e Escala Logarítmica

   Hoje trago para vocês um post mais interdisciplinar. Hoje vamos tratar sobre a audição humana e a forma como percebemos o som. Depois vamos relacionar isso à escala logarítmica, funções exponenciais e um pouco mais de matemática. Com isso vamos entender o que é são os decibéis (dB), como essa escala de medida funciona e por que é prático escrever o ganho de um amplificador em Decibel, e não em V/V ou W/W. Começando então pela audição humana:

   O som é uma onda que se propaga por um meio material, que geralmente é o ar. Essa onda vibratória, ao entrar, passa por três ossos muito importantes, o martelo, a bigorna e o estribo, que atuam como pequenas alavancas, e mais diversos sistemas importantes. Uma explicação bastante detalhada e interessante sobre a audição pode ser encontrado no site telecom.inescn.pt.

   Este processo auditivo tem por finalidade converter as ondas mecânicas que se propagam através do ar em impulsos elétricos que se propagarão através dos nervos para chegar ao cérebro, onde serão processados e interpretados. Mas a forma como percebemos o som não corresponde a uma escala linear. Por exemplo, se uma furadeira produz 100dB de intensidade sonora, duas furadeiras produzem 200dB, três produzem 300dB e 4 produzem 400dB. Certo? Errado!

   Isso se dá pelo fato da percepção auditiva humana não ser linear, e sim logarítmica. Antes de dar uma formalização matemática, vamos analisar os seguintes fatos: se uma furadeira produz 100dB de intensidade sonora, então duas furadeiras produzem, juntas, 103dB. Por sua vez, três furadeiras produzem 104,7dB e quatro furadeiras produziriam 106dB. Perceba que, conforme dobramos a fonte geradora de som, aumentamos 3dB. Vimos isso quando passamos de uma para duas furadeiras (100dB para 103dB), e quando passamos de duas para quatro furadeiras (103dB para 106dB). Se tivéssemos 10 furadeiras teríamos 110dB, ou seja, 10dB a mais que uma única furadeira.Então, por enquanto, temos essas duas regrinhas práticas: dobrando a fonte geradora de som, temos 3dB a mais. Multiplicando a fonte geradora por 10, temos 10dB a mais.

   Essa escala logarítmica de decibéis se ajusta com a percepção auditiva humana. Assim como na escala logarítmica, o dobro da fonte geradora não produz o dobro de decibéis, o nosso ouvido também não percebe o dobro da intensidade. Se o proprietário do carro trocar seu sistema de som de 100W por um de 200W, ele terá um acréscimo de 3dB. Se, depois, ele trocar de novo, e colocar um de 400W, ele terá 6dB a mais que seu sistema original de 100W. Se ele colocar um sistema de 1000W, ele terá 10dB a mais que seu sistema original de 100W.

   A fórmula matemática que permite calcular os dB é :

$$ \Large dB = 10 log{\frac{P_1}{P_2}} $$

   Mas por que existe aquele 10 na frente do logaritmo? Pois decibel é um submúltiplo da unidade Bel. Como um Bel são 10 decibéis, é colocado aquele fator 10 para transferir da unidade para seu submúltiplo. Mas note que decibel é uma unidade muito mais comum que o Bel, que é muito grande para ser usado no cotidiano. Perceba que a diferença entre 1 Bel corresponde a 10 vezes mais potência.

   Veja que a escala de decibéis é uma escala relativa, ou seja, é uma comparação entre dois valores (nesse caso P1 com P2). Por exemplo, se a saída de áudio para um fone de ouvido fornece 700mW de potência, e nós a ligamos a um amplificador, de forma que na saída do auto-falante tenhamos 20W, qual foi o ganho de potência?

   Se calcularmos com a forma tradicional, dividindo a potência de saída do sistema pela potência de entrada, obtemos 28,57 como fator de ganho. Aplicando o cálculo para avaliar o ganho em decibéis, obtemos 14,56dB de ganho.

   Podemos usar a escala de decibéis para comparar qualquer duas grandezas. Porém devemos tomar cuidado, pois nem sempre a expressão usada será igual. Vamos deduzir matematicamente a expressão que devemos usar para calcular a relação entre tensões. A fórmula será diferente. Primeiramente, lembre-se que as potências P1 e P2 podem ser escritas nas seguintes formas:

$$ \Large P_1 = \frac{{V_1}^2}{R} $$

$$ \Large P_2 = \frac{{V_2}^2}{R} $$

   Substituindo na fórmula que calcula o ganho em decibéis da potência, que sabemos a priori ser verdadeira, temos:

$$ \Large dB = 10 log{\frac{\frac{{V_1}^2}{R}}{ \frac{{V_2}^2}{R}}} $$

$$ \Large dB = 10 log ({\frac{V_1}{V_2}})^2 $$

   Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz que \(log(x^2) = 2log(x)\), temos:

$$ \Large dB = 20 log \frac{V_1}{V_2} $$

   Dessa forma vimos que é diferente a expressão que calcula a relação logarítmica entre tensões. Vamos tentar fazer uma análise semelhante a essa para a expressão da corrente elétrica.

$$ \Large P_1 = {I_1}^2 R $$

$$ \Large P_2 = {I_2}^2 R $$

Por substituição:

$$ \Large dB = 10 log \frac{{I_1}^2 R}{{I_2}^2 R} $$

   Que, aplicando as mesmas propriedades aplicadas acima, chegamos na seguinte fórmula:

$$ \Large dB = 20 log \frac{I_1}{I_2} $$

   Uma das vantagens de medir ganho em decibel é o seguinte: imagine um amplificador de dois estágios, onde cada estágio possui um ganho de 10 vezes. O ganho total é medido como o ganho do primeiro vezes o ganho do segundo, que resulta em um ganho total de 100 vezes. Se medirmos os ganhos em decibéis, o ganho do primeiro amplificador seria 10dB e o ganho do segundo também seria 10dB. Para calcular o ganho total, fazemos a SOMA dos dois ganhos, sendo o ganho total 20dB. E, conforme aumentamos o número de estágios, fica evidente que fazer a soma é muito mais simples que fazer multiplicações.

   Há, ainda, outro fator muito conveniente em se usar a escala logarítmica para medir ganhos. Imagine um amplificador de tensão que não amplifique, ou seja, a tensão na saída é igual a tensão na entrada. Neste caso ele possui ganho 1, pois a saída é igual a 1 vezes a tensão de entrada. Se medirmos em decibéis, o ganho é 0dB, o que faz mais sentido, já que não houve nenhum ganho de tensão. Se a tensão na saída for 2 vezes menor que a entrada, dizemos que o amplificador teve um ganho de 0,5, pois a saída é 0,5 vezes a tensão de entrada. Mas, se saiu menos do que entrou, como pode haver um ganho positivo? Usando a escala logarítmica, isso é resolvido, já que nesse exemplo o amplificador teria um ganho de -3dB. Logo é mais conveniente usar a escala logarítmica para calcular ganhos.

   E por hoje era isso. Vimos como se calcula o ganho de potência, tensão e corrente na escala logarítmica e o que significa "decibéis". Só uma última curiosidade: muito se fala sobre o plural de decibel, se é decibéis ou decibels. O Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa diz que o plural de Bel é Bels, porém o plural de decibel aceita tanto decibéis quanto decibels. Porém no item "b" do parágrafo 3.2 do Anexo do Decreto Federal N° 81.621/1978 diz que a formação do plural de uma unidade se dá apenas pelo acréscimo da letra "s", tendo como exceção unidades terminadas com a letra "c". Porém a nota no final deste mesmo parágrafo diz: "Nota - Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular (por exemplo, becquerels, decibels, henrys, mols, pascals etc.), não se aplicando aos nomes de unidades certas regras usuais de formação do plural de palavras." Então, se você considerar que "decibéis" já entrou no vocabulário vulgar, é correto escrever decibéis. Do contrário, o correto é escrever decibels. Mas essa é uma discussão não relacionada com eletrônica, então whatever. Se você quiser escrever decibels, decibéis ou decibeles, pra mim tanto faz. Fica o link do decreto se alguém quiser dar uma olhada: 

http://legislacao.planalto.gov.br/legisla/legislacao.nsf/Viw_Identificacao/DEC%2081.621-1978?OpenDocument 

   Se cuidem, estudem bastante e até a próxima. Qualquer coisa postem um comentário que respondo assim que puder. Abraço! Fui...