Álgebra Booleana

Olá a todos. Hoje vou falar sobre a Álgebra de Boole, a mágica matemática da eletrônica digital onde 1+1=1! Vamos falar sobre o que ela é, da onde surgiu e como pode ser aplicada para entender os circuitos digitais e resolver problemas usando-os.

Segundo Idoeta e Capuano (2011, p.41), em 1854 o matemático inglês George Boole lançou um trabalho chamado "An Investigation of the Laws of Thought" (Uma Investigação das Leis do Pensamento). Neste trabalho estava o que seria conhecido como Álgebra de Boole.

Este era um trabalho que buscava uma formalização matemática de conceitos da  lógica, mas que não buscava nenhuma aplicação prática. E assim foi até que em 1938 o engenheiro americano Claude Elwood Shannon se valeu da Álgebra de Boole para resolver problemas em circuitos de telefonia, que na época eram construídos usando apenas relés. Ele publicou suas ideias em  um trabalho intitulado "Symbolic Analysis of Relay and Switching" (Análise Simbólica de Relés e Comutação). Foi aí que nasceu algo que poderíamos chamar de eletrônica lógica, algo primitivo que daria origem ao que conhecemos hoje por eletrônica digital.

Na Álgebra de Boole se trabalha com variáveis que podem assumir dois, e somente dois valores distintos: 0 e 1. A Álgebra Booleana é composta por expressões booleanas, que são as sentenças matemáticas formadas somente por variáveis booleanas e cuja solução também poderá assumir somente o valor 0 ou 1. Os postulados da Álgebra Booleana estão enunciados a seguir:

Observação: Eu procurei o símbolo de "negado" no greasemonkey mas não achei. O símbolo tradicional consiste em uma barra sobre a variável a ser negada. Então vamos usar um símbolo alternativo, que será multiplicar a variável por -1. Então se eu negar a variável A, eu escreverei -A. Se eu negar o resultado de uma soma, por exemplo A+B, eu escreverei -(A+B).

* Complementação:
Se A=0, então o complemento de A, ou seja, -A (A "negado"), vale 1.
Se A=1, então o complemento de A, ou seja, -A (A "negado"), vale 0.
Destes postulados resulta o fato de que uma variável complementada ("negada") duas vezes é igual a ela mesma.

* Adição:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1

As identidades abaixo são consequências lógicas dos postulados acima.

A+0=A
A+1=1
A+A=A
A+(-A)=1

* Multiplicação:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Através destes postulados podemos concluir que as identidades abaixo são verdadeiras.

A*0=0
A*1=A
A*A=A
A*(-A)=0

Esta Álgebra possui as propriedades algébricas que conhecemos. A seguir são listadas tais propriedades:

* Comutatividade:
A+B=B+A
A*B=B*A

* Associatividade:
A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C
A*(B*C)=(A*B)*C=A*B*C

* Distributividade:
A*(B+C)=A*B+A*C

Todas essas propriedades e identidades podem ser verificadas verdadeiras pela construção da tabela verdade, seguida da análise de todas as combinações possíveis para as variáveis.

Vamos estudar agora os Teoremas de De Morgan, começando pelo 1°.

1° Teorema de De Morgan:
-(A*B)=(-A)+(-B)

2° Teorema de De Morgan:
-(A+B)=(-A)*(-B)

Existem ainda algumas identidades auxiliares que facilitam a simplificação das expressões booleanas. São elas:

a) A+A*B=A

pois
A+A*B=A*(1+B)=A*1=A

b) (A+B)*(A+C)=A+(B*C)

pois
(A+B)*(A+C)=A+(B*C)=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A*1+BC=A+BC

E por hoje era isso. Foi um post bem curto, só para não dizerem que eu não fiz nada neste feriadão. Aviso que estarei fora este feriadão, mas posto mais alguma coisa quando eu voltar. Mostrarei então como construir um circuito digital combinacional (com portas lógicas) a partir de uma expressão booleana. Mostrarei como se faz a simplificação de uma expressão e ensinarei como construir um Mapa de Karnaugh, que simplifica muito nossa vida na eletrônica digital. Até a próxima. Qualquer dúvida, postem nos comentários. Abraço, se cuidem e continuem estudando.