Capacitor: Matemática e Circuito RC Série

Em outro post eu falei de forma mais qualitativa sobre esse componente. Agora, neste post, me proponho a analisar o capacitor com um maior rigor, só obtido através da matemática. Também comentarei sobre o circuito RC série, o comportamento do capacitor em corrente alternada e também a forma como associamos eles.

Quando ligado corretamente em tensão contínua ele se carrega quase instantaneamente. Porém acontece algo interessante quando ele é ligado em série com um resistor. O comportamento do capacitor descarregado é equivalente a um curto-circuito. Portanto, toda a tensão da fonte estará sobre o resistor e a corrente do circuito será a tensão da fonte dividida pela resistência do resistor (cálculo a partir da Lei de Ohm). Porém essa corrente do circuito começa a carregar o capacitor. Com isso a tensão do resistor passa a diminuir e a do capacitor a aumentar. Isso ocorre até que o capacitor esteja completamente carregado. No final desse período (que se chama período transitório) o capacitor está carregado com a mesma tensão da fonte, não há tensão no resistor e nem corrente circulando pelo circuito. Abaixo há alguns gráficos que ilustram esse comportamento.



Mas qual o tempo do período transitório? Isso depende de dois fatores: a resistência e a capacitância do circuito. Se multiplicarmos esses dois parâmetros (resistência x capacitância) obteremos algo conhecido como constante de tempo (cujo símbolo é a letra grega minúscula tau []). Quanto maior o resistor, menos corrente inicial passará e por isso o capacitor se carregará mais lentamente. Quanto mais capacitância o capacitor possuir, mais "espaço interno" terá para depositar as cargas, aumentando o tempo de carga. Em cerca de 5o capacitor estará completamente carregado e o período transitório terá sido finalizado.

Por exemplo, um circuito de 24V possui, em série, um resistor de 3300 ligado em série com um capacitor de 2200 , qual o tempo necessário para que o capacitor esteja completamente carregado? Primeiro devemos calcular a constante de tempo, multiplicando os 3300 pelos 0,0022 Farads. Isso nos dá uma constante de tempo de 7,26 segundos. Como é necessário 5 para carregar o capacitor, serão necessários algo em torno de 36 segundos para atingir a carga plena do capacitor.

As equações da curva dos gráficos acima são as seguintes:








Onde:

é a tensão no resistor, medido em Volts;
é a tensão no capacitor, medido em Volts;
é a corrente inicial, medida em Ampères, que corresponde a: ;
é o valor da resistência do resistor associado em série, medido em ohms;
é a tensão total da fonte, medido em Volts;
é o número de napier, constante adimensional, irracional, igual a aproximadamente 2,72;
é a constante de tempo, medida em segundos, que corresponde a: ;
é o tempo decorrido, medido em segundos.

Outras equações relacionam a corrente e a tensão no capacitor. São elas:



De forma equivalente, podemos dizer que:



Vamos fazer a interpretação das equações acima. A primeira fala que a tensão no capacitor é proporcional a integral da corrente. A integral da corrente é a carga. Assim, a tensão do capacitor é proporcional a carga armazenada por ele e inversamente proporcional a sua capacitância.

A segunda equação envolve a derivada da tensão, ou seja, a velocidade com que a tensão varia. Isso significa que quanto mais rápido varia a tensão, mais corrente "atravessa" o capacitor. Isso poderá ser visto como a variação da reatância capacitiva conforme a frequência de variação da tensão.

Vimos que, depois de carregado, o capacitor se comporta como um circuito aberto em tensão contínua. Isso significa que não há corrente no circuito pois sua "resistência" é "infinita". Já se ligarmos o capacitor em tensão alternada, passará uma corrente que depende da frequência do sinal. Essa corrente é limitada pela "resistência" do capacitor, que se chama reatância capacitiva. A expressão que calcula a reatância (representada por ) é a seguinte:



Onde:

é a reatância capacitiva, medida em ohms;
é a capacitância do capacitor
é a frequência do sinal de tensão, medido em Hertz.

Vemos que quanto maior a frequência, menor a reatância e, portanto, maior a corrente. Para altas frequências o capacitor se comporta como um curto-circuito. Para baixas frequências ele apresenta alta reatência, se comportando como um circuito aberto para frequências muito baixa ou para corrente contínua (onde a "frequência é nula).

Quanto a associação de capacitores, se procede da seguinte maneira. Se calcularmos a reatância capacitiva de cada capacitor, associaremos essas reatâncias da mesma forma como associamos os resistores. Em série é a soma e em paralelo é o inverso da soma dos inversos. Já se nossa intenção for associar as capacitâncias, procederemos de forma contrária ao capacitor. Quando eles estiverem em paralelo, somaremos as capacitâncias dos dois ou mais. Quando estiverem em série, então faremos o inverso da soma dos inversos. E lembre-se de não confundir a associação das reatâncias capacitivas com a associação das capacitâncias, pois isso geralmente causa confusão no início. Caso você não saiba como se faz a associação dos resistores, de uma olhada no post "Associação de Resistores: Série, Paralela e Mista".

E por hoje é isso. Eu ainda não concluí satisfatoriamente uma explicação de capacitores, então acredito ser necessário mais um post. No próximo post vou me aprofundar ainda mais sobre o comportamento do capacitor em corrente alternada, falarei mais detalhadamente sobre sua associação e demonstrarei um uso dele, que é a filtragem que se faz após a retificação de um sinal alternado. Não sabe o que é isso? Ficou curioso? Então não se esqueça de ler o próximo post na semana que vem. Abraço!