segunda-feira, 10 de julho de 2017

Winter Challenge XIII

   Olá a todos! Fazia tempo que não postava nada devido ao (como sempre) estressante final de semestre. Inclusive, estou neste momento em função de uma das atividades de final de semestre: a participação na competição de batalha de robôs Winter Challenge, da RoboCore. E a história de como vim parar há mais de 1.000 km de casa é o tema do post de hoje.

Começa uma aventura

   Tudo começou com a matrícula na disciplina de Projeto Integrador Avançado. Essa é uma disciplina sem ementa definida, em que ficamos a mercê das ideias do professor, que propôs que construíssemos um robô de batalha. Tanto que as primeiras duas aulas foram assistir vídeos no YouTube sobre competições nacionais e internacionais.

   A ideia inicial era dividir a turma em 2 grupos, que construiriam seus robôs e competiriam entre si. Porém, por ser uma turma pequena (apenas 7 alunos), sugerimos construir um único projeto. O professor concordou, contanto que competíssemos em algum evento para testarmos nosso projeto.

   Concordamos meio incrédulos de que isso fosse de fato acontecer. Achamos inicialmente que apenas entregar o projeto seria o suficiente para convencer o professor a nos aprovar naquela matéria. Mas, durante o semetre, ficamos sabendo de uma competição de robôs, chamada Winter Challenge.

A Winter Challenge


   A Winter Challenge é uma competição anual organizada pela RoboCore. A RoboCore, para quem não conhece (assim como eu não conhecia), é uma loja especializada em robótica. Eles tem tanto kits didáticos, com arduínos e sensores, até motores e caixas de redução profissionais (e caras) para robôs de batalha que competem em nível internacional!

   A Winter Challenge está em sua décima terceira edição e conta com as tradicionais batalhas de robôs, além de competições de robôs seguidores de linha, de sumô de robôs (tanto rádio controlados quanto autônomos), hockey de robôs e com trekking de robôs.

   Nas batalhas de robôs há ainda a divisão por categorias de peso. Nesse evento há as categorias Antweight (até 454 g), Beetleweight (até 1,36 kg), Hobbyweight (até 5,44 kg), Featherweight (nossa categoria, até 13,6 kg) e Lightweight (até 27,2 kg).

   O evento é gigante. Muito legal de assistir e participar. Há muitas equipes e todo mundo se ajuda, apesar de serem competidores entre si. O evento ocorre em São Caetano do Sul - SP, no Instituto Mauá de Tecnologia.

Nosso Robô


   Nossa turma escolheu a categoria de peso featherweight (até 13,6 kg) e começamos a trabalhar no robô. Os primeiros passos foram a escolha do nome da equipe e do robô. Nossa equipe se chama Galera da Malha Fechada, visto que a disciplina roda dentro da engenharia de controle e automação. O nome do nosso robô é Caveira. 

   Como cada aluno da turma trabalhava em uma empresa diferente, conseguimos juntar bastante material gratuitamente. Nosso rádio controle é um Futaba emprestado pelo professor, que gosta de aeromodelismo. Os motores foram o que encontramos na universidade. Nós utilizamos 2 baterias de 12 V de parafusadeira em paralelo, doadas por um colega junto com um carregador para elas. A estrutura mecânica, feita em alumínio (não me perguntem qual liga que eu não sei), foi construída por um colega com acesso a tornos na empresa dele. As rodas foram usinadas em alumínio e engastadas em um rolamento pelo mesmo colega. O driver dos motores de direção foram comprados por R$ 90,00. Eu cedi um arduíno uno, juntei a eletrônica e programei junto com o rádio. Construí também um driver de ponte H com relé para o motor da arma, cujo sentido de rotação podia ser controlado pelo controle remoto. Tudo foi preso com dupla-face, enforca-gatos e espuma de PU. Dessa mistura surgia o primeiro robô de batalha da Universidade de Caxias do Sul: o Caveira.

1° Dia de Competição


   Nosso objetivo principal era aprender. Sabíamos que não tínhamos um robô competitivo, mas também não sabíamos muita coisa de qualquer jeito. Por isso definimos que o maior resultado disso seria o aprendizado para as próximas edições.
   Com esse pensamento em mente aguentei uma fila de três horas, muito tempo embaixo de sol, carregando cerca de 15 kg entre robô e ferramentas. Mas, durante esse tempo de fila, algumas pessoas vieram falar comigo. Coincidentemente eles eram o pessoal da equipe GaudérioBotz, de Santa Maria (o que me faz pensar que todas as vezes que saí do estado para algum evento de engenharia, sempre os encontro por lá). Eles tem mais experiência (estão participando pela 5ª vez), e foram muito receptivos. Explicaram vários detalhes sobre construção de robôs, que foram mais fáceis de entender devido a compatibilidade de sotaques.

   Passada a fila, me inscrevi com a melhor foto de crachá possível. Na inspeção de segurança reprovamos em quatro quesitos: suspensão do robô, trava da arma, luz indicativa e chave de segurança.

   A suspenção do robô é uma regra que diz que o robô, enquanto estiver nos boxes, deve estar suspenso, ou seja, suas rodas não devem tocar a mesa. Isso serve para que, em caso de pane que ligue as rodas, o robô não saia atropelando os outros. Resolvemos isso com pedaço de madeira sob o robô.

   A trava da arma é uma regra que diz que toda a arma deve possuir uma trava, de forma que em caso de pane que ligue a arma, a mesma não machuque ninguém acidentalmente. Resolvemos isso colocando uma chave inglesa no eixo de rotação da nossa arma.

   A luz indicativa é uma regra que diz que os robôs devem ter uma luz bem visível indicando o funcionamento. Resolvemos isso catando com outras equipes LED, resistor e pedaços de fios. Soldamos tudo conectando direto na bateria de alimentação. Problema resolvido.

   A última regra diz respeito a necessidade de haver uma chave que desligue toda a alimentação do robô. Isso para possibilitar um desligamento rápido de todos os sistemas. O pessoal de Santa Maria doou conectores XT60, que implementamos como chave de bateria, atendendo o último quesito.

   Devo agradecer também ao pessoal da Bodetronic, que estava sentados na mesa de frente para a nossa, e emprestaram desde estanhador até silver tape (que fita maravilhosa, nunca tinha visto aquilo pessoalmente).

   Passada a inspeção, saíram as chaves da competição. Nossa primeira luta era justamente contra o pessoal de Santa Maria!

2° Dia de Competição




   No segundo dia deixamos nosso robô pronto para a "competição". Fomos alertados que nossas rodas não iriam ter aderência no piso metálico da arena. Por isso, tentamos aplicar fita de termofusão para "emborrachar" nossas rodas de tração. Incusive o próprio pessoal de Santa Maria emprestou a fita e ajudou a aplicar.

   Mas na hora, não rolou. Mesmo com a fita não havia aderência suficiente. O robô patinava, não sendo rápido o suficiente para evadir os ataques do Xucro (robô da GaudérioBotz). Fomos arremessados múltiplas vezes contra a arena, até que nossa roda engastada no rolamento se soltou, paralizando nosso robô.

Restante da Competição


   Com o robô não competitivo danificado, e sem ferramentas para repará-lo, sabíamos que ali acabava nossa participação. Mas ainda havia muito o que aprender. Por isso assistimos muitas lutas e conversamos com muitas equipes. Inclusive demos nossa roda danificada para a GaudérioBotz como troféu e símbolo de agradecimento. Ganhamos um pedaço do robô deles também, mas já está guardado na mala, por isso não colocarei fotos aqui.

Algumas das coisas que aprendemos com tudo isso:
  • Um robô featherweight competitivo custa entre R$ 5.000,00 e R$ 10.000,00;
  • As rodas do pessoal normalmente são encapadas com borracha vulcanizada, o que garante maior aderência ao piso da arena;
  • O pessoal usa muita bateria de LiPo, pela capacidade de fornecer altas correntes;
  • Mas as baterias de LiPo são cheias de detalhes, e explodem (vi isso acontecer);
  • Os motores dos robôs, de tração, no arranque, consomem cerca de 150 A cada;
  • Os robôs normalmente são bastante compactos. Dimensionalmente, nosso robô era bem maior que os adversários;
  • Ninguém usa placa eletrônica central, como nós usamos o arduíno. Eles conectam o receptor direto em um driver de motor apropriado;
  • Robôs rampa com boa tração são bastante perigosos;
  • Muito de uma batalha depende da pilotagem. Bons pilotos fazem muita diferença;
   Com isso, fomos bem sucedidos em nossa empreitada, pois vamos levar muita experiência para nossa equipe. E que no próximo ano sejamos, além de tudo, perigosos.

   Espero que tenham gostado desse post. Até a próxima!

sexta-feira, 27 de janeiro de 2017

Eficiência de Amplificadores Classe A

   Bom dia a todos. Quem está acompanhando o blog sabe que nos últimos posts eu falei sobre o modelo de pequenos sinais de transistores bipolares de junção. Para explicar esse tópico eu tenho abordado circuitos amplificadores, dos quais vimos várias características, tais como ganho, impedância de entrada e de saída, para nomear alguns. Porém um aspecto importante que não falamos e que é importante na construção de um amplificadores reais é a eficiência. Portanto esse será o tema de hoje.

Mas, primeiro, o que são classes de amplificadores?

   Se tratando do circuito eletrônico, existem diversas formas projetar um amplificador. Cada uma delas tem certas características como, por exemplo, fidelidade do sinal, consumo de energia, quantidade de componentes, etc. Essas formas de implementação estão divididas em classes.

O que define a classe A?

   Os amplificadores de classe A tem como característica utilizar um único transistor para amplificar todo o ciclo do sinal. Imagine que na entrada tem uma senoide pura. No classe A o transistor de saída conduz nos 360° dessa senoide (ou seja, no ciclo completo). Os amplificadores que eu expliquei até agora foram todos da classe A.

Quais outras classes existem?

   Muitas outras, como B, AB, C, D, só para citar as mais tradicionais. Não vamos tratar delas hoje e, por isso, nem vou entrar muito na diferença entre elas.

O que é a eficiência?

   Eficiência é conseguir fazer mais com menos. Matematicamente ela é definida conforme abaixo:

$$ \large \eta = \frac{P_u}{P_T} $$


   Onde \(\eta\) é a eficiência, \(P_u\) é a potência útil e \(P_T\) é a potência total.


   Em um cenário ideal toda a potência consumida é utilizada. Assim, \(P_u\) seria igual a \(P_T\) e teríamos uma eficiência unitária (ou seja, 100%). No amplificador isso seria igual a entregar para a carga (auto-falante) toda a potência consumida pelo circuito. Na prática isso é impossível. Todos os sistemas possuem algum desperdício, que causa ineficiência.



   O principal motivo de desperdício nos amplificadores é dissipação de calor. Nossos circuitos possuem resistores com várias funções (e.g. polarização de transistores, geração de referências de tensão, etc). Os resistores dissipam a energia na forma de calor. Os transistores também dissipam energia térmica, contribuindo para a ineficiência.



   Os amplificadores classe A possuem eficiência máxima teórica de 25%. Só isso??? Sim. Quer dizer que se você fizer o melhor amplificador classe A possível com componentes ideais você ainda assim joga 3/4 da potência fora. Se seu amplificador tem uma saída de som de 25 W, seu amplificador consumiria 100 W. Os outros 75 W seriam desperdiçados como calor. Assim, seu circuito seria 75% estufa e 25% amplificador.


   Para provar minha afirmação vamos começar com um circuito simples, descrito na figura abaixo.


   Vamos supor que \(R_c\) é a minha carga. Eu quero o sinal de maior amplitude possível em \(R_c\), mesmo que exista tensão DC nele. Não interessa, meu foco é no sinal alternado presente em \(R_c\).

   Para garantir que o sinal de saída tenha a maior amplitude possível nós vamos polarizar o ponto quiescente (ponto de repouso) em metade da tensão de alimentação. Ou seja, o ponto descrito como out terá metade de \(V_{cc}\). Com isso é fácil calcular a corrente que a fonte está fornecendo através da Lei de Ohm no resistor \(R_c\). A potência total fornecida pela fonte é:

$$ \large P_T = V_{cc} I_{cc} = V_{cc} \frac{V_{cc} - \frac{V_{cc}}{2}}{R_c} = \frac{V_{cc}^2}{2R_c} $$

   A grandeza \(P_T\) é a potência média fornecida pela fonte independente de ter sinal na base do transistor ou não. Essa tensão vem exclusivamente da polarização do circuito no ponto ideal, que é metade de \(V_{cc}\).

   A potência útil é a potência do sinal que pode ser amplificado por esse circuito. Mas qual a maior potência útil que podemos ter nesse caso? Para responder isso vamos pensar em qual o maior sinal que podemos ter nesse caso.

   O nosso sinal de saída pode subir até \(V_{cc}\) e descer até 0. Como nosso ponto out já está bem na metade desse caminho, a amplitude da onde de saída é metade de \(V_{cc}\)*. Com a amplitude podemos calcular a potência da seguinte maneira:

$$ \large P_u = (\frac{A}{\sqrt{2}})^2\frac{1}{R_c} = \frac{A^2}{2R_c} = \frac{V_{cc}^2}{8R_c} $$

   Onde A é a amplitude do sinal. Calculando a potência obtemos:

$$ \large \eta = \frac{P_u}{P_T} = \frac{V_{cc}^2}{8R_c} \frac{2R_c}{V_{cc}^2} = \frac{1}{4} $$

   E aqui chegamos com a demonstração que o circuito classe A, polarizado com o ponto quiescente em metade de \(V_{cc}\), possui eficiência máxima teórica de 25%. Veja que várias coisas que fizemos nos nossos circuitos reais contribuem para diminuir a eficiência. Colocar resistor de polarização diminui a eficiência. Colocar resistor no emissor para polarizar diminui a amplitude máxima possível e, com isso, diminui a eficiência. O transistor não é ideal e, por isso, não consegue conduzir completamente (\(V_{CEmin}\) \(\neq\) 0), idem ao anterior. Colocar capacitor para remover componente DC da carga diminui a amplitude do sinal (nem que seja um pouquinho), diminuindo também a eficiência. No fim nosso circuito deve ficar com algo em torno de 15% de eficiência (não calculei, apenas chutei. Podemos calcular no futuro).

   Porém o classe A tem ótima fidelidade de sinal. As distorções são mínimas e, por isso, até vale a pena montá-lo em aplicações de baixíssima potência. Mas para áudio de verdade devemos partir para outras classes.

   Por hoje era isso. Espero que tenham gostado e entendido. Até a próxima, onde talvez vamos calcular, por curiosidade, a eficiência do amplificador que montamos.

* Observação: veja que se estivéssemos em 60% de \(V_{cc}\) poderíamos subir até 100% e descer até 0% também. Mas como uma senoide deve ter simetria entre a parte superior e inferior, a amplitude efetiva que alcançaríamos seria de apenas 40%.


terça-feira, 10 de janeiro de 2017

400000 Visualizações. ^ - ^

Olá a todos. Primeiro post de 2017 para comemorar a marca de 400 mil visualizações. Fico feliz com isso. Alguns pontos que me chamaram a atenção:

1) A velocidade com que isso aconteceu: Atingimos a marca de 200 mil visualizações em agosto de 2015, mais de 4 anos após o início do blog. As outras 200 mil visualizações chegaram bem mais rápido;

2) A quantidade de posts de 2016: Há uma tendência de diminuir a quantidade de posts mas, em 2016, isso se reverteu. Houve um post a mais que em 2015. Claro que não há como eu voltar ao ritmo de postagem de 2011 - 2012, mas nem quero. Estou gostando muito das postagens atuais. A lém disso, a quantidade de postagens não vai aumentar significativamente este ano, visto que prevejo um 2017 atarefado. Mas, de vez em quando, vai ter algo novo por aqui.

3) A quantidade de seguidores: Tenho 52 seguidores no blog. Que coisa, não? Acho uma quantidade grande, visto que o assunto é bastante específico.

Enfim, quis ser breve. Era isso! o/

sexta-feira, 23 de dezembro de 2016

Transistor BJT em AC: Teste do Amplificador (2)

   Boa tarde a todos. Devido a uma fase agitada da minha vida (que envolve namorar, continuar entregando trabalhos de inteligência artificial, ociosidade, Skyrim e responder muitas pessoas que me perguntam sobre osciloscópios por e-mail) esse post acabou demorando. Mas, finalmente, com a chegada das férias, vamos nos lançar ao derradeiro desafio. A implementação prática e testes do circuito que analisamos nas últimas postagens.

   Para realizar os testes eu montei o circuito do post anterior. Eu também tomei o cuidado de medir os valores dos componentes para utilizá-los nos cálculos, garantindo que os erros não se devem as tolerâncias dos mesmos, já que nossa ideia é testar o funcionamento dos modelos. Ainda assim não tenho como fugir do limite imposto pela precisão do instrumento de medição utilizado. No caso das formas de onda, eu utilizei o osciloscópio InfiniiVision X-3024A da Agilent (o manual pode ser encontrado aqui). Das minhas medições dos componentes eu obtive:

\(V_{cc}\) = 12,1 V
R1 = 9,8 KΩ
R2 = 1,98 KΩ
Re = 973 Ω
Rc = 3,71 KΩ
RL = 4,71 KΩ
C1 = 77 nF
C2 = 1,02 μF
\(\beta_{cc}\) = 200 (transistor BD135)

Pela 1ª aproximação:

\(R_{in}\) = 1647 Ω
\(R_{out}\) = 2355 Ω
\(A_v\) = -2,42 vezes

Pela 2ª aproximação

\(r_{pi}\) = 3666 Ω
\(R_{in}\) = 1634 Ω
\(R_{out}\) = 2355 Ω
\(A_v\) = -2,36 vezes

   A 3ª aproximação leva em conta os capacitores. Por isso seus parâmetros dependem da frequência do sinal amplificado pelo circuito. Sendo assim, eu vou representar os valores graficamente utilizando diagramas de Bode.





   Note que o eixo vertical está plotado em dB. O MatLab calcula a magnitude em dB pela seguinte equação:

$$ \large M_{dB} = 20 log(M) $$

   Logo, para calcular o valor de M, realizamos as operações inversas, chegando em:

$$ \large M = 10 ^{\frac{M_{dB}}{20}} $$

   Outra observação importante é a fase do diagrama de Bode do ganho de tensão. Perceba que ele começa em 360º e depois diminui. Podemos interpretar esse diagrama como se ele começasse em 0º e diminuísse. Isso pois 0º e uma volta completa (360º) são o mesmo ponto.

   Agora chegou o momento. Vamos comparar todo esse equacionamento matemático contra a única referência que interessa: a prática. Vamos deixar que a natureza diga qual modelo está correto. Para verificar os valores do terceiro modelo eu utilizei a figura no MatLab, que permite que eu coloque marcadores para determinar o valor em um dado ponto da curva. Nesse aspecto, vocês vão ter que confiar na minha palavra, pois seria muito trabalhoso extrair o valor apenas da figura em baixa resolução disponibilizada no blog.

Primeiro teste: 2 Hz



Av medido: 0,00797
Fase medida: não detectada

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 30000%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 29500%

|Av| 3ª Aprox: 0,0004
Erro: 94%

   Aqui o erro no 3º modelo pode ser da precisão do equipamento. O sinal está muito pequeno para a escala utilizada no osciloscópio, que é de 200 mV/div (mas eu, teimoso persistente, quis manter sempre a mesma escala para os sinais em todos os testes). A fase do sinal de saída ainda não pode ser detectada pelo osciloscópio devido a baixa amplitude da onda.

Segundo teste: 20 Hz


Av medido: 0,0359
Fase medida: não detectada

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 6650%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 6500%

|Av| 3ª Aprox: 0,0288
Erro: 19,7%

   Ainda não há informação da fase da onda de saída devido a baixa amplitude, mas já podemos ver o desempenho muito superior do terceiro modelo em relação aos outros.

Terceiro Teste: 200 Hz




Av medido: 0,365
Fase medida: -94,2º

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 563%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 546%

|Av| 3ª Aprox: 0,356
Erro: 2,47%
Fase 3ª Aprox: -94º
Erro: 0,21%

    O terceiro modelo está com um erro baixo e agora podemos ver que ele determina a fase com precisão também.

Quarto Teste: 2 kHz



Av medido: 2,006
Fase medida: -145,9º

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 20,67%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 17,65%

|Av| 3ª Aprox: 1,986
Erro: 1%
Fase 3ª Aprox: -147º
Erro: 0,75%

   Novamente tivemos bons resultados na determinação do módulo do ganho e da fase do amplificador.

Quinto Teste: 20 kHz


Av medido: 2,41
Fase medida: -176º

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 0,41%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 2,07%

|Av| 3ª Aprox: 2,36
Erro: 2,07%
Fase 3ª Aprox: -176º
Erro: 0%

   Para frequências mais altas as impedâncias capacitivas se tornam desprezível. Assim os modelos da 1ª e 2ª aproximação se tornam muito bons, tanto quanto o de 3ª aproximação. Ainda assim, o último continua nos dando a informação de fase, que em alguns casos pode ser útil.

Sexto Teste: 200 kHz


Av medido: 2,369
Fase medida: +172,7º

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 2,15%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 0,38%

|Av| 3ª Aprox: 2,363
Erro: 0,24%
Fase 3ª Aprox: -179º = +181º
Erro: 4,81%

   Tal como o teste anterior, os 3 modelos tiveram bom desempenho.

Sétimo Teste: 2 MHz


Av medido: 1,704
Fase medida: -109º

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 42,02%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 38,50%

|Av| 3ª Aprox: 2,363
Erro: 38,67%
Fase 3ª Aprox: -179º
Erro: 64,22%

   Percebe-se a degradação dos modelos. Todos deixam de funcionar, e o 3º modelo deixa de informar a fase com precisão, algo que vinha fazendo até agora. O motivo disso? Os nossos modelos não consideram capacitâncias parasitas que forçam um novo polo no modelo. Em outras palavras: é claro que nosso amplificador não pode trabalhar com frequências infinitamente altas. Logo, em alguma frequência, ele deve perder ganho.

Oitavo Teste: 20 MHz



Av medido:0,800
Fase medida: -15º

|Av| 1ª Aprox.: 2,42
Erro: 202%

|Av| 2ª Aprox: 2,36
Erro: 195%

|Av| 3ª Aprox: 2,363
Erro: 195%
Fase 3ª Aprox: -179º
Erro: Muito errado

   Aqui já deu tudo errado e nossos modelos não se aplicam nem para uma estimativa. Excedemos a capacidade deles e, se quisermos trabalhar nessa região de operação, devemos levantar um novo modelo que considere as capacitâncias parasitas.

Conclusão

   Realizamos 8 testes (que é um número bom), cada teste incrementando uma década na frequência de 2 Hz (2 também é um número bom). Com os resultados apresentados concluímos que:

1) as aproximações de maiores ordem resultaram, em geral, em melhores resultados;

2) a terceira aproximação, embora mais trabalhosa, nos dá também a informação de fase de forma acurada;

3) para frequências suficientemente altas os modelos equacionados deixam de funcionar. Isso foi percebido nos testes com 2 MHz e 20 MHz. Por quê?  Temos que ter em mente que nossos modelos não compreendem capacitâncias parasitas do transistor e outros componentes. Isso pode ser a explicação para essa divergência. Isso é absolutamente normal. Sempre que trabalhamos com uma teoria temos que ter em mente que é um modelo válido apenas para uma certa gama de situações. Assim, sempre que utilizamos um modelo para entender a realidade, temos que cuidar para aplicá-los apenas onde os mesmos são válidos.

   Por fim, podemos nos orgulhar de nosso equacionamento, pois fomos capazes de conhecer o funcionamento para todas as frequências de operação do amplificador. Assim sendo, a função de transferência determinada pela aproximação de pequenos sinais é show de bola.

   Por hoje era isso. Ou melhor, por 2016 era isso. Até ano que vem. Feliz natal e boas festas para todos. Abraço e até a próxima.

quarta-feira, 14 de setembro de 2016

Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (2) - Análise de Pequenos Sinais em Frequência

   Bom dia! Este post demorou para sair pois o assunto é complicado e, para ajudar, tive um trabalho de inteligência artificial para entregar essa semana. Mas vamos adiante!

   No final do último post deduzimos equações que nos mostravam o comportamento do circuito. Mas instigo no leitor uma dúvida: Como esses capacitores influenciam a resposta do amplificador para diferentes frequências?

   Assumimos que para correntes contínuas os capacitores funcionavam como um circuito aberto, ou seja, impediam completamente a passagem de corrente. Já para correntes alternadas assumimos que os capacitores eram um curto-circuito, permitindo a passagem livre da corrente. Mas isso não pode ser dessa forma! Quero dizer: é possível que para 0 Hz o capacitor bloqueie completamente mas para 0,1 Hz conduza completamente? Esse comportamento não parece natural.

   E não é! O que acontece é que para correntes contínuas o capacitor tem alta impedância e para frequências que tendem ao infinito a impedância tende a 0. Isso pode ser visto nas equações que exibem a impedância do capacitor em função da frequência angular \(\omega\).

$$ \Large Z_c = \frac{1}{j\omega C} = \frac{-j}{\omega C} \ [\Omega] $$

$$ \Large \lim_{\omega \rightarrow \infty} Z_c = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \frac{1}{j\omega C} = 0 \ \Omega $$

$$ \Large \lim_{\omega \rightarrow 0} Z_c = \lim_{\omega \rightarrow 0} \frac{1}{j\omega C} = \infty \ \Omega $$

   Com esse conhecimento, nós colocamos a impedância dos capacitores no modelo AC de pequenos sinais e o circuito resulta no mostrado na Figura 1 (com as novas impedâncias em vermelho).

Figura 1: Modelo AC de pequenos sinais com a impedância dos capacitores em vermelho.
   Agora vamos começar a analisar o amplificador. O primeiro valor a ser determinado neste caso é a corrente de base, pois ela nos permitirá calcular a tensão de saída e, consequentemente, o ganho do amplificador. Começarei o equacionamento pelo teorema de Thevenin na entrada e pela associação das impedâncias de saída, conforme mostrado na Figura 2. Observação: depois de bater a foto, achei melhor não associar o resistor de coletor junto com as outras impedância. Por isso considerem apenas essa associação, como mostrado nas imagens posteriores.

Figura 2: Thevenin na entrada e associação na saída (obs. associação apenas de RL com Zc2)

   Para simplificar a notação das equações, vamos chamar o paralelo (R1 // R2) de Ri. Feito isso, vamos calcular o equivalente de Thevenin da entrada:

$$ \Large V_{th} = V_{in} \frac{j\omega R_i C_1}{j\omega R_i C_1 + 1} $$
$$ \Large Z_{th} = \frac{R_i}{j\omega R_i C_1 + 1} $$

   Associando a impedância da carga com a impedância do capacitor da saída, obtemos:

$$ \Large Z_{out} = (\frac{j\omega R_L C_2 + 1}{j\omega C_2}) $$

   Substituindo o resultado de nosso algebrismo no circuito, obtemos a representação da Figura 3.

Figura 3: Substituição de elementos do circuito por estruturas equivalente.


   O circuito da Figura 3 é muito mais simples, da perspectiva de quantidade de componentes, que o circuito original. Porém é equivalente, ou seja, possui o mesmo comportamento. Portanto, será baseado nele que efetuaremos os cálculos, conforme segue:

$$ \Large i_b = \frac{V_{th}}{Z_{th} + r_{\pi} + (\beta+1) R_e} $$
$$ \Large i_b = \frac{V_{in}}{r_{\pi} + (\beta + 1) R_e} \times \frac{j\omega R_i C_1}{j\omega C_1 R_i + (1 + \frac{R_i}{r_{\pi} + (\beta + 1) R_e})} $$

   Para determinar a tensão na carga, precisamos saber a corrente que passa pelo ramo da carga. Para isso, vamos utilizar a equação do divisor de corrente (lembrando que a tensão é negativa pois a corrente "sobe" pelo GND):

$$ \Large V_L = - R_L \beta i_b \frac{R_c}{R_c + \frac{j\omega R_L C_2 + 1}{j\omega C_2}} = - R_L i_L $$

$$ \Large V_L = - \beta i_b R_L  \frac{(j\omega R_c C_2)}{j\omega(R_L C_2 + R_c C_2) + 1} $$

   Substituindo o valor de corrente de base encontrado anteriormente na última equação, podemos determinar o ganho do amplificador. Nos empenhando nessa tarefa fechamos com:

$$ V_L =  \frac{- \beta V_{in}}{[r_{\pi} + (\beta + 1) R_e]} \frac{j\omega C_1 R_i}{j\omega C_1 R_i + (1 + \frac{R_i}{r_{\pi} + (\beta + 1) R_e})} \frac{ R_L (j\omega R_c C_2)}{j\omega(R_L C_2 + R_c C_2) + 1} $$

$$ \Large A_V = \frac{-\beta R_L R_i R_c C_1 C_2}{K_1 K_3} \frac{(j\omega)^2}{(j\omega + \frac{K_2}{K_1})(j\omega + \frac{1}{K_3})} $$

$$ \Large K_1 = C_1 R_i (r_{\pi} + (\beta + 1)R_e) $$
$$ \Large K_2 = r_{\pi} + (\beta + 1)R_e + R_i $$
$$ \Large K_3 = R_L C_2 + R_c C_2 $$

   Observação: Eu poderia ter feito a substituição \(j^2 = -1\) no numerador da expressão do ganho. Eu preferi não fazer para manter \(j\omega\), pois acho \(j\omega\) muito simpático (P.S. j é meu número favorito).

Anexo 1: Material Extra

   Segue abaixo, jogadas, imagens e equações que eu não utilizei nesse post mas são úteis na análise do amplificador:

Figura 4: Representação do amplificador com a impedância de saída.

$$ \Large Z_{in} = \frac{1}{j\omega C_1} + (R_1 // R_2 // r_{\pi} + (\beta + 1)R_e) $$
$$ \Large Z_{out} = R_c \frac{j\omega R_L C_2 + 1}{j\omega (R_L + R_c)C_2  + 1} $$

   Por hoje era isso. Espero que tenham gostado do post ao lerem-no pela primeira vez. Espero que tenham entendido o post ao lerem-no pela... bom, as vezes demora mesmo. Mas, em caso de dúvida, os comentários devem ser utilizados. Até a próxima! o/

sexta-feira, 19 de agosto de 2016

Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (2) - Análise de Pequenos Sinais (sem análise em frequência)

   Olá a todos. Hoje vamos analisar o circuito do último post utilizando a aproximação de pequenos sinais. Como dito no título, não vamos utilizar análise em frequência, ou seja, vamos considerar que os capacitores são um curto-circuito para AC, independente da frequência. Posteriormente eu vou tratar desse aspecto, considerando as funções de transferência presentes nesse circuito.


Figura 1: Modelo AC de pequenos sinais

   A Figura 1 mostra o circuito em AC. Percebe-se que a tensão de entrada está aplicada diretamente na base do transistor. Percorrendo a malha que contém a fonte de alimentação e a base do transistor, chegamos na seguinte equação para a corrente da base:

$$ \large -v_{in} + r_{\pi}i_b + (\beta+1)i_b R_e = 0 $$
$$ \large i_b = \frac{v_{in}}{r_{\pi} + (\beta+1)R_e} $$

   A tensão de saída, por outro lado, pode ser determinada pela corrente que passa pela associação de resistores de saída.

$$ \large v_{out} = -\beta i_b (R_c // R_L) $$

   Isolando a corrente de base em ambas as equações e igualando-as, achamos a expressão para o ganho do amplificador:

$$ \large A_V = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-\beta (R_c // R_L)}{r_{\pi} + (\beta+1)R_e} $$

   Note que o ganho negativo indica que a fase da tensão de saída é oposta a tensão de entrada. Aqui fazemos algumas análises para sentir o circuito. Perceba que, no denominador, o termo \((\beta+1)R_e\) tende a superar muito o termo \(r_{\pi}\). Portanto, podemos (como aproximação) desprezá-lo. Além disso, para valores de \(\beta\) altos, podemos aproximar a razão entre \(\beta\) e \((\beta+1)\) como sendo 1. Assim, após essas considerações, chegamos à forma aproximada e simplificada do ganho:

$$ \large \lim_{\beta \rightarrow \infty}A_V  = \frac{-(R_c // R_L)}{R_e} $$

   Com isso, percebemos que a carga influencia no ganho.

   A impedância de entrada, vista da fonte, é:

$$ \large R_{in} = R_1 // R_2 // (r_{\pi} + (\beta+1)R_e) $$

   Aqui faremos mais análises para sentir. Veja que a impedância de entrada é o paralelo entre três valores de resistência, que são \(R_1\), \(R_2\) e \((r_{\pi}+(\beta+1)R_e)\). Lembre-se que, ao associar resistências em paralelo, a resistência equivalente é menor que o menor valor associado. Como o termo que contém \(R_e\) costuma ser muito maior que os outros dois (por ser multiplicado por \(\beta+1\)), podemos aproximar a impedância de entrada como sendo:

$$ \large (\beta+1)R_e >> R1 // R2 \rightarrow R_{in} = R_1 // R_2 $$

   Ou seja, a impedância de entrada vista pela fonte depende, majoritariamente, dos resistores que escolhemos para fazer a polarização DC do circuito.

   A impedância de saída, vista da perspectiva da carga, é igual a \(R_c\).

   Até agora, nós analisamos o circuito e deduzimos as equações para a impedância de entrada, a impedância de saída e para o ganho de tensão. Nós vamos separar nossas conclusões em 2 conjuntos. O primeiro conjunto, que vou chamar de 1ª aproximação, é um conjunto simplificado de equações. Elas tem a vantagem de nos oferecerem uma análise rápida do circuito, em detrimento da precisão.

$$ \large R_{in} = R_1 // R_2 $$

$$ \large R_{out} =  R_c // R_L $$

$$ \large A_V = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-R_{out}}{R_e} $$

   O segundo conjunto de equações, que chamarei de 2ª aproximação, contém equações mais complexas, mas que representam com maior fidelidade o comportamento do circuito. As equações são:

$$ \large R_{in} = R_1 // R_2 // (r_{\pi} + (\beta+1)R_e) $$

$$ \large R_{out} =  R_c // R_L $$

$$ \large A_V = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-\beta R_{out}}{r_{\pi} + (\beta+1)R_e} $$

   E por hoje era isso. No próximo post vou mostrar uma 3ª aproximação, que inclui a influência das funções de transferência para analisarmos (pelo menos superficialmente) a resposta em frequência do circuito. Abraço e até a próxima.

domingo, 14 de agosto de 2016

Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (2) - Polarização com Divisor de Tensão

   Olá a todos. Hoje vamos começar a analisar outro amplificador utilizando a aproximação de pequenos sinais. Mas, antes disso, vamos conhecer seu esquema elétrico e comentar sobre sua polarização. Você vai perceber que esse post faz referências ao circuito do primeiro exemplo. O mesmo pode ser encontrado neste link. De resto, mãos à massa!

   A polarização do amplificador mostrado na Figura 1 é conhecida como polarização por divisor de tensão, devido ao divisor de tensão na base do transistor. Essa configuração é mais comum na prática do que o exemplo do último post por possuir uma vantagem determinante: constância em relação ao ganho do transistor. Mas o que quero dizer com isso?

Figura 1: Circuito exemplo de polarização por divisor de tensão

   A polarização de base, topologia do exemplo no post anterior, é sensível ao ganho do transistor utilizado. Para um ganho 100, teremos uma determinada tensão de polarização. Para um ganho 300, a tensão de polarização será muito diferente.

   A polarização por divisor de tensão, por sua vez, é muito menos sensível as variações de ganho. Vamos a um exemplo prático. O transistor BC337 pode ter ganhos entre 100 e 630. Ou seja, ao projetar um circuito com esse componente, temos que nos certificar que nosso projeto é funcional tanto para o ganho mínimo (100) quanto para o máximo (630). Caso contrário, corremos o risco de vermos nosso produto não funcionar sempre que compramos um novo lote de transistores. A Figura 2 mostra a tensão de polarização em função do ganho para a topologia do exemplo 1 (polarização de base) e para o circuito desse exemplo (polarização por divisor de tensão).

Figura 2: Comparação da Tensão de Coletor x Ganho do Transistor

   Portanto, é perceptível que o circuito é muito constante em relação ao ganho do transistor. Mas, e quanto aos outros parâmetros? Como ele se comporta em relação as variações nos valores dos resistores? Quanto a variação da tensão de alimentação?

   Para investigar isso, utilizei o método de Monte Carlo (ver observação 1 no final do post). Para cada parâmetro (Vcc, R1, R2, Rc, Re e \(\beta\)) gerei um vetor de 11 elementos igualmente espaçados, variando entre 90% e 110% do valor nominal (com exceção do \(\beta\), que gerei 11 elementos entre 100 e 630). Pela equação de polarização do circuito (mostrada abaixo), simulei todas as combinações possíveis de parâmetros (1771561 possibilidades, o que levou cerca de duas horas de processamento) e plotei o histograma da Figura 3.

$$ \large V_c = V_{cc} - R_c \beta \frac{V_{th} - 0.7}{R_{th} + (\beta+1)R_e} $$
$$ \large V_{th} = \frac{V_{cc}R_2}{R_1+R_2} $$
$$ \large R_{th} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} $$


Figura 3: Histograma das possibilidade obtidas através do método de Monte Carlo (resistores de 10%)

   Repeti a simulação com variação bilateral de 5% e de 1% (+/- 5% e +/- 1%) para verificar o efeito do uso de resistores de maior precisão. As variações da fonte e do ganho do transistor foram mantidas em relação ao histograma da Figura 3, para considerar apenas a influência da tolerância dos resistores. Os resultados estão apresentados nos histogramas das Figuras 4 e 5.

Figura 4: Histograma das possibilidades obtidas através de Monte Carlo (resistores de 5%)

Figura 5: Histograma das possibilidades obtidas através de Monte Carlo (resistores de 1%)


















   Analisando os histogramas, vemos que para resistores de 10% a faixa da tensão de coletor ficou entre 3,3 V e 8,3 V. Aumentando a precisão dos resistores para 1%, ficamos em uma faixa de 4,6 V e 7,4 V. Conforme analisado na Figura 2, a tensão de polarização é bastante insensível as variações de ganho de transistor. Assim sendo, é possível inferir que a variação ainda vista na Figura 5 se deve, majoritariamente, as variações de Vcc. A investigação do comportamento do circuito em função da tensão de alimentação é interessante, e será realizada em um próximo post.

   Por hoje era isso. Fiquei muito satisfeito com as análises feitas nesse post. Iniciei o uso de uma nova ferramenta estatística, que foi o método de Monte Carlo, e pude avaliar o comportamento estatístico do circuito, ao invés de apenas analisar o caso nominal e os piores casos. Espero que  também tenham gostado. Até a próxima!

   Observação 1: No método de Monte Carlo os vetores são gerados aleatoriamente seguindo uma distribuição estatística conhecida (e.g. distribuição normal). Neste caso, gerei vetores de parâmetros igualmente espaçados. No meu entendimento, isso é equivalente a assumir uma distribuição retangular (uniforme), o que, provavelmente, não é o caso. Porém, para efetivamente utilizar o método com distribuição normal, eu precisaria de vetores maiores. Ao trabalhar com vetores de 50 elementos, por exemplo, eu terminaria com um vetor solução de 1,56x10^10 (50^6) posições. Isso é demais para o poder computacional que tenho e para minha vontade de otimizar código. Então, pelo menos por hoje, manteremos a distribuição retangular.