Transistor BJT em AC: Par Darlington em DC

Post rápido de intervalo de almoço. Hoje vamos determinar a equação que rege a associação de transistores conhecidas como Darlington, cuja imagem está abaixo. Pois muita gente aprende que quando se associa transistores BJT da forma abaixo, o ganho total é o produto dos ganhos individuais. Mas será que é isso mesmo? Hoje vamos botar isso a prova.

Nosso objetivo é deduzir a equação de ganho do "transistor equivalente", que relaciona a corrente total de coletor (Ic, em vermelho) com a corrente total de base (Ib, em vermelho), a partir dos ganhos $\beta_1$ e $\beta_2$ dos transistores Q1 e Q2. Ou seja, em um transistor, temos a seguinte equação:

$$\Large \beta = \frac{I_c}{I_b}$$

Como o $\beta$ está relacionado com $\beta_1$ e $\beta_2$, onde $\beta$ é o ganho do transistor equivalente?

Sabemos que no transistor Q1, a corrente do coletor é $\beta_1$ vezes maior que a corrente de base. Também sabemos que no emissor, a corrente de coletor se soma com a corrente de base. Assim temos:

$$\Large I_{B2} = I_{E1} = I_{B1} + I_{C1} = (\beta_1 + 1) \times I_{B1}$$

Como a corrente na base do transistor Q1 também é a corrente de base do transistor equivalente, temos:

$$\Large I_{B2} = (\beta_1 + 1) \times I_{B}$$

O transistor Q2 aplica seu ganho $\beta_2$ na corrente que entra na sua base. Assim temos que a corrente de coletor do transistor Q2 é:

$$\Large I_{C2} = I_{B2} \times \beta_2 =  (\beta_1 + 1) \times I_{B} \times \beta_2$$

Mas a corrente de coletor total, do transistor equivalente, não é apenas $I_{C2}$, pois temos que somar com $I_{C1}$. Assim:

$$\Large I_{C} = I_{C1} + I_{C2}$$

$$\Large I_{C} = I_{B} \times \beta_1 + (\beta_1 + 1) \times I_{B} \times \beta_2$$

$$\Large I_{C} = I_{B} \times (\beta_1 + (\beta_1 + 1) \times \beta_2)$$

$$\Large I_{C} = I_{B} \times (\beta_1 + \beta_1 \times \beta_2 + \beta_2)$$

$$\Large \beta = \beta_1 + \beta_1 \times \beta_2 + \beta_2$$

E é isso. Acontece que o produto dos ganhos costuma ser tão maior que a soma que o ganho total é aproximado pelo produto dos ganhos. Mas vimos hoje que não é bem assim. Para o transistor BC 337, que tem ganho mínimo de 100, erraríamos por 2% em considerar apenas o produto dos ganhos. 

Abraço e até a próxima.

P.S. Não sei o porquê, mas não consigo deixar este post com formatação justificada. Por ser um post de intervalo de almoço, vai assim mesmo.