Transistor BJT em AC: Truncamento da Série de Taylor

     Noite fria de domingo, que se encerra comigo na cama, fugindo do frio da serra gaúcha. Mas acho que algo no fim de semana ficou em aberto. Uma ponta solta que pretendo atar neste momento. De onde vem a aproximação de pequenos sinais?

     No post "Transistor BJT em AC: De onde vem a aproximação de pequenos sinais?" foi feita a seguinte aproximação:

$$ \huge e^{\frac{v_{be}}{V_T}} \approxeq (1 + \frac{v_{be}}{V_T})$$

     De onde isso surgiu? E até onde isso é válido? Essas são as perguntas que pretendo discutir nesse post.

     Da série de Taylor, sabemos que:

$$ \huge e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}+ ...$$

     Porém essa série é infinita. Se quiséssemos computar um valor de \(e^x\) com ela, ainda precisaríamos realizar infinitas somas, o que não é prático. Mas podemos utilizar um raciocínio interessante para nos poupar trabalho. Perceba que para valores de x menores que 1, quanto menor o valor de x menos os termos de maior ordem influenciam. E se os termos de maior ordem não influenciam muito, podemos aproximar o cálculo apenas com os dois primeiros termos da série. Isso se chama truncar (cortar uma série infinita em algum ponto). O truncamento é necessário para processos computacionais (sejam eles a mão ou em computadores), mas inevitavelmente inserem algum erro no processo. Vamos resolver dois exemplos:

Exemplo 1: \(e^{0,1}\)

$$ \huge e^{0,1} = 1.105170918075648 $$

$$ \huge 1 + x = 1 + 0,1 = 1,1 $$

$$ \huge erro = \frac{\vert 1,1 - e^{0,1} \vert}{e^{0,1}} = 0,468\% $$

Exemplo 2: \(e^{0,5}\)

$$ \huge e^{0,5} = 1.648721270700128 $$

$$ \huge 1 + x = 1 + 0,5 = 1,5 $$

$$ \huge erro = \frac{\vert 1,5 - e^{0,5} \vert}{e^{0,5}} = 9,02\% $$

     Percebemos que quanto maior o valor de x, mais impreciso fica o resultado tomado apenas pelos dois primeiros termos da série. Podemos plotar o erro para termos uma ideia melhor.

Figura 1: Erro de aproximação em função do valor de x

     

     Então percebemos, graficamente, que quanto maior o x, mais imprecisa fica nossa aproximação. Mas até que ponto podemos aproximar com os dois primeiros termos da série? Depende de quanto erro você está disposta a aceitar. Para valores da faixa de 5%, podemos trabalhar com x até 0,3 com segurança. Lembrando que x é, na verdade, a razão entre a tensão AC na junção base-emissor pela tensão térmica, temos:

$$ \huge v_{be_{max}} = 7,5 mV $$

     Mas a literatura sobre isso pode variar. No meu curso de Eletrônica I considera-se válida a aproximação de pequenos sinais para uma tensão AC entre base e emissor de 10 mV. Minha intenção nesse post não é bater o martelo sobre essa questão. Apenas mostrar que há um erro e que ele aumenta de acordo com a amplitude da tensão AC nessa junção.

     Por hoje era isso. Agora posso dormir descansado, sabendo que não deixei esse assunto em aberto. Para quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões, usem os comentários ou enviem um e-mail. Façam o mesmo se tiverem problemas em visualizar as equações. Abraço e até a próxima.