segunda-feira, 11 de abril de 2011

O Problema das Potências


E aí galera! Tudo ok? Hoje começo com uma nova seção aqui no blog, que eu acredito que irá ajudar muito futuros vestibulandos e alunos do ensino médio. Nessa seção, que eu chamo de "Questões Resolvidas", serão analisados diversos problemas de provas, livros e vestibulares. Aqui você pode ler, aprender, sugerir, questionar e fazer o que der na telha. É só comentar que logo você será atendido.

Bom, começaremos então com um problema que eu chamarei de "Problema das Potências". Ele foi tirado do livro "Análise de Circuitos em Corrente Contínua" escrito pelo engenheiro eletrônico Rômulo Oliveira, e seu enunciado é o seguinte:

Três resistores, R1, R2 e R3 são ligados em paralelo. Sabendo que a potência em R3 é duas vezes a potência dissipada em R2, a potência dissipada em R2 é três vezes a dissipada em R1 e a potência do gerador de 12V é de 1,2W, quais são os valores de R1, R2 e R3?

O primeiro passo para resolver este exercício é relacionar a potência e escrever tudo em função do menor valor de potência. Para isso, primeiro faremos a relação: (Obs: [;P_n;] indicará a potência do resistor [;n;]).

1)   [;P_3=2P_2;]
2)   [;P_2=3P_1;]

Das expressões um e dois, tiramos:

[;P_3=2P_2;]
[;P_3=2(3P_1);]

3)   [;P_3=6P_1;]

Pronto! Agora possuímos duas relações de potências que serão úteis para nós:

2)   [;P_2=3P_1;]
3)   [;P_3=6P_1;]

Agora, como nós sabemos que a potência dissipada em todos o resistores deve ser igual a potência dissipada pela fonte, nós trabalharemos com a seguinte expressão:

[;P_1+P_2+P_3=1,2W;]

Substituindo [;P_2;] e [;P_3;] pelos valores em função de [;P_1;] obteremos:

[;P_1+3P_1+6P_3=1,2W;]

[;10P_1=1,2W;]

[;P_1=0,12W;]

Agora que sabemos a potência em [;P_1;] fica fácil saber a dos outros resistores.

[;P_1=0,12W;]
[;P_2=3P_1;]; [;P_2=3(0,12)=0,36W;]
[;P_3=6P_1;]; [;P_3=6(0,12)=0,72W;]

Observe que a soma total da potência em cada resistor é igual a potência total da fonte. Essa prova real nos dá um pouco mais de segurança, pois assim sabemos que nosso cálculo até aqui muito provavelmente está certo.

Bom, nós já conhecemos muito bem a Lei de Ohm e a Lei de Joule, que são, respectivamente:

[;V=R.I;] e [;P=V.I;]

Manipulando essas duas expressões, e substituindo uma na outra, obteremo uma terceira expressão que nos será útil:

[;P=\frac{V^2}{R};]

Que é equivalente a:

[;R=\frac{V^2}{P};]

Como sabemos que a tensão em todos os resistores é 12V a expressão acabará da seguinte maneira:

[;R=\frac{144}{P};]

Substituindo P pelos valores de P1, P2 e P3 obteremos:

[;R_1=1200\Omega;]

[;R_2=400\Omega;]

[;R_3=200\Omega;]

Pronto! Agora já sabemos o valor ôhmico de cada resistor da associação. É claro que há outras formas de resolver este exercício. De todos os métodos que eu usei (e que eu sei), eu considerei esse um dos mais simples, e por isso eu o escolhi para ser postado. Mas se você achou um método mais simples sinta-se a vontade para colocá-lo nos comentários. Se você tiver uma sugestão de problema pode enviar também. Sinta-se em casa!!!

Bom, finalmente inaugurei essa seção. Apesar deste ter sido postado numa segunda, os post do marcador "Questões Resolvidas" serão postados, a princípio, todas as terças pela manhã. Então é isso. Boa semana e até a próxima! Abraço e se cuidem!

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