Um Pouco Mais Sobre o Sinal Alternado

Bem vindos ao blog galera, hoje vou falar um pouco mais sobre o sinal alternado. Já vimos um pouco sobre o que ele é no post Tensão Alternada e eu comentei sobre sua matemática no post As Bases Matemáticas da Tensão Alternada. Hoje vou continuar o assunto falando sobre a defasagem entre sinais e sobre os diversos métodos de representação desse sinal. Mas o primeiro a fazer é responder: o que é defasagem? Para responder essa pergunta veremos primeiro os métodos de representação do sinal alternado: começando pela representação gráfica.

* A Representação Gráfica *

A representação gráfica nos mostra o formato do sinal, sua amplitude, sua tensão de pico-a-pico, seu período e frequência (se estiver do domínio temporal), sua fase inicial e sua defasagem quanto a um outro sinal. Se estiver no domínio temporal, ele nos mostrará a variação do sinal em função do tempo. Se estiver no domínio angular, ele nos mostrará a variação em função do ângulo, sempre lembrando que um ciclo corresponde a uma volta de 360° ou 2 radianos. Abaixo há a imagem da representação gráfica do sinal alternado no domínio temporal.



Essa representação gráfica corresponde ao desenho no plano cartesiano de uma função. O estudo dessa função nos leva ao segundo método de representação de um sinal alternado: o método trigonométrico.

* Representação Trigonométrica *

A representação trigonométrica se refere a forma de representar um sinal pelo uso de uma função. Esse método é bastante interessante, pois nos permite o cálculo de valores instantâneos de tensão. Nele também estão contidos os valores de amplitude, tensão de pico-a-pico, período, frequência, fase inicial e defasagem quanto a outro sinal. Esse método, talvez por ser o mais matemático, é o que apresenta de maneira mais eficiente todos os dados de um sinal. Abaixo há a representação trigonométrica do sinal acima.



Vamos agora explicar cada parte dessa função. O número 10 que antecede o seno representa o valor de pico, que é o máximo valor que a função irá alcançar. Após vem o seno de 1000.t. O 1000 é o que se chama de frequência angular (e se representa pela letra ômega minúscula {}). Para calcular a frequência angular nós pegamos a frequência do sinal e multiplicamos por 2. Após isso vem o "t", que é a variável que representa o tempo. Se, por exemplo, nosso sinal não começasse em zero, mas saísse adiantado, haveria mais um termo dentro dos parênteses do seno. Esse termo seria o , que representa o adiantamento ou o atraso do sinal. No geral, a forma trigonométrica tem a seguinte cara:



Se, ao invés de estar no domínio temporal, a função estiver no domínio angular, o termo é substituído simplesmente por .

Embora essa representação seja extremamente precisa ao nos informar os parâmetros de um sinal alternado, é bastante complicado efetuar operações com esses sinais, como por exemplo uma simples soma. Por isso existem outras duas formas populares de representação, e a próxima delas é a representação fasorial.

* Representação Fasorial *

A representação fasorial utiliza um fasor para nos mostrar o comportamento de um sinal. Um fasor nada mais é do que um vetor girante. A velocidade de rotação de fasor corresponde a frequência angular do sinal. Seu aspecto é o da imagem abaixo.



A representação fasorial funciona como a representação gráfica. Suas diferenças são que a forma fasorial é mais simplificada e, pelo método do paralelogramo, nos permite fazer operações de soma e subtrações de sinais. O diagrama fasorial nos possibilita visualiar a amplitude, a tensão de pico-a-pico, o período, a frequência, a frequência angular, a fase inicial e a defasagem quanto a outro sinal. Na imagem acima também podemos ver a correspondência existente entre a representação fasorial e a gráfica.

No diagrama fasorial, o módulo do fasor indica a amplitude (tensão de pico) do sinal, enquanto o termo representado por indica a fase inicial do sinal. A figura nos mostra a construção do gráfico a partir da representação fasorial. Mas, apesar de ser simples fazer somas e subtrações com os fasores, é difícil fazer multiplicações e divisões. Para isso foi criado um último método, que é o mais eficaz para os cálculos em geral. Esse último método é conhecido como representação por números complexos.

* Representação por Números Complexos *

Os números complexos nos permitem representar a tensão de pico e a fase inicial de um sinal. É de fato uma representação bastante simples, e esse é seu grande trunfo. Sua simplicidade reflete diretamente na facilidade que temos para operar com esses números. Por isso, essa representação é a escolhida quando queremos somar, subtrair, multiplicar ou dividir sinais.
Dentro da representação dos números complexos há duas formas: a cartesiana e a polar.

A forma cartesiana representa o número complexo em um plano cartesiano. O eixo horizontal é a parte real enquanto o vertical é a parte imaginária. Um dado número Z, onde , pode ser representado no plano cartesiano da maneira ilustrada abaixo.

Porém há outra forma de representar um número complexo. Essa outra forma é chamada de forma polar. Ela consiste em informar o comprimento (o módulo) do vetor Z e o ângulo entre este vetor e o eixo horizontal. Podemos ver esse tipo de representação na figura abaixo.

Quando precisarmos efetuar somas ou divisões, recorreremos a forma cartesiana. Entretanto, se nossa meta é a multiplicação ou divisão, recorremos a forma polar. Por isso conhecer as duas, e saber transformar uma na outra, é extremamente importante. Porém digo que, até agora, a representação pela forma polar me pareceu mais utilizada, por informar diretamente Vp e . A representação cartesiana será utilizada mais comumente para os cálculos.

Se representássemos aquele nosso primeiro sinal dessa forma, seu aspecto seria simplesmente (em coordenadas polares*):



Mas, enfim. Que raios é defasagem??? Bom, agora que aprendemos a representar um sinal, poderemos falar sobre a defasagem. Suponha dois sinais de mesma frequência, que vamos representar pela função trigonométrica:

e



Se olharmos o gráfico acima, vemos que enquanto V1 está em zero volts, V2 está em sua tensão de pico negativo, ou seja, começou 90° (rads) atrasado em relação a V2. Também seria possível tomar V2 como referência e dizer que V1 está 90° adiantado. Isso é mais fácil de visualizar se desenharmos o diagrama fasorial. Se quiser, deixo como prática desenhar a representação fasorial do exemplo anterior e visualizar a defasagem entre os sinais.

Outro ponto importante. Defasagem é uma característica da comparação entre dois sinais que devem, necessariamente, ser de mesma frequência. Não faz sentido algum falar de defasagem em sinais de frequências diferentes.

Era isso então galera. Até semana que vem com mais um post sobre o maravilhoso mundo da eletrônica. O próximo post, se tudo correr como o planejado, será sobre um interessante componente indispensável da eletrônica: O temido capacitor!!! Até a próxima...

* Coordenadas Polares é um método de representação de um número complexo. É um par de números, onde o primeiro representa o módulo do número e o segundo seu ângulo inicial (seu argumento).

As Bases Matemáticas da Tensão Alternada

Olá a todos. Venho através deste post lançar as bases matemáticas para o estudo e a compreensão dos fenômenos em tensão alternada. Dessa forma, é possível para eu fazer um post sobre tensão alternada sem me preocupar se alguém não irá compreender alguma expressão ou ideia. Espero que este post fique bastante claro e que todos tenham suas dúvidas esclarecidas, podendo então aprofundar um pouco mais o estudo da tensão alternada.

Primeiro ponto que será abordado será a função trigonométrica que representa um sinal alternado. A função em questão assume a seguinte forma:



Essa é uma função, que relaciona valores de tensão (variável dependente) a valores de tempo (variável independente). Como podemos ver, essa função envolve o seno. De que maneira? O sinal estudado em questão é uma senóide, que se origina da função seno. Porém a função seno assume valores de, no máximo, 1 e -1. Por isso essa função seno é multiplicada pelo valor de tensão de pico, para que o gráfico do sinal "alcance" os valores de pico positivo e negativo.

Outra característica importante no estudo de uma função é o estudo de sua raiz, ou como se chama, o zero da função. Assumindo que vemos que iremos obter:



Delta theta () representa a fase inicial do sinal. Se esse termo não existir (ou seja, for zero) significa que o sinal começa no ponto zero. Se esse termo não for nulo, isso significa que a tensão no instante zero não será zero, mas corresponderá ao seno de multiplicado pelo valor de tensão de pico. É interessante observar que se corresponder a 90º, a tensão no instante zero será igual ao valor de pico positivo (para +90°) ou negativo (para -90°). Com isso, dizemos que o sinal tem uma fase inicial de . Também gostaria de deixar claro que existem outras letras gregas que também são usadas para representar esse ângulo.

O segundo ponto a ser abordado é a representação por números complexos. Gostaria de começar explicando o que são números complexos. Na escola aprendemos que não existe nenhum número real que seja raiz de um número negativo. Isso é verdade, não há nenhum número real que satisfaça essa propriedade. Porém o que não é explicado é que existem números que não são reais e resolvem, por exemplo, a seguinte expressão:



Os números que resolvem raízes negativas são chamados imaginários. Veja a linha de raciocínio seguida pelos matemáticos:

* -4 pode ser obtido pela multiplicação de -1 por 4, então:



* Raiz quadrada de quatro, como bem sabemos, é dois. Então:



* Agora vamos supor que exista uma unidade chamada tal que , então:



E assim foi criado o conceito de número imaginário. Um número que, a princípio, não existe, mas nos serve para resolver equações.

Sendo assim, com o passar do tempo, a conhecida reta real (a reta que contém todos os números reais) ganhou mais um eixo perpendicular, o eixo imaginário. Assim é possível dispor todos os números conhecidos em um plano cartesiano, identificando-os pela sua parte real e pela sua parte imaginária.

Com isso foi percebido uma outra forma de representar esses mesmos números, conhecida como forma polar. Na forma polar, a gente informa o módulo (o comprimento) do vetor, e o ângulo entre esse vetor e o eixo "x" (eixo real). Mas é importante, quando se trabalha com os números complexos, ter a capacidade de converter da representação cartesiana para a forma polar. Isso é muito fácil e a explicação segue abaixo:


Quando temos a representação cartesiana, temos um número na forma . Esse número tem uma parte no eixo real e uma parte no eixo imaginário. Para determinar o módulo desse número, basta simplesmente aplicarmos o teorema de pitágoras. Então temos:



O ângulo desse número pode ser descoberto achando-se a tangente do número e depois aplicando a função ou . Então temos que:

com o ângulo em graus ou radianos, dependendo da programação de sua calculadora.

Para converter da forma polar para a cartesiana usamos um processo que é muito mais simples. Teremos um número na forma e teremos que passar para a forma onde:



e

.

Mas por que devemos aprender a fazer essa conversão, se as duas formas representam a mesma coisa? O principal motivo é que é mais comum, na área elétrica/eletrônica, representarmos na forma polar. Porém é muito mais simples efetuar somas e subtrações na forma cartesiana. Por isso é importante, para facilitar nossos cálculos, dominar essa técnica de conversão.

Para somar, usamos a forma cartesiana. A soma consiste em simplesmente somar as partes reais com as partes reais, e as partes imaginárias com as partes imaginárias. A subtração consiste no mesmo processo, porém diminuindo as partes reais e imaginárias.

Para multiplicar ou dividir, convém que os números estejam na forma polar. Para multiplicar na forma polar, nós multiplicamos o módulo e somamos os ângulos. Para dividir, basta dividir os módulos e subtrair os ângulos. Bastante simples.





Outra coisa que pode ser importante, para somar e subtrair usando o diagrama fasorial, é aprender a somar e subtrair vetores. Para isso usamos, principalmente, a regra do paralelogramo. Ele é um método geométrico bastante simples.

Consiste, basicamente, em desenhar os dois vetores com um mesmo ponto de origem e, a partir deles, traçar um paralelogramo. O vetor resultante da soma será aquele que vai do vértice de origem até o vértice oposto do paralelogramo. A figura abaixo exemplifica muito bem o método:

Para diminuir um vetor de outro, usamos o mesmo método, porém com uma observação. Se precisarmos efetuar , desenharemos o vetor e, ao desenharmos o vetor nós o inverteremos, ou seja, iremos girá-lo 180°. Após isso, é só efetuar a soma pelo método do paralelogramo.



Com isso, espero que ninguém tenha dificuldades para compreender a análise do sinal alternado, que envolve bastante da matemática aqui explicada. Qualquer dúvida, estamos aí e não se esqueçam, estudem muito!!! Abraço e até semana que vem.