Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (2) - Análise de Pequenos Sinais em Frequência

   Bom dia! Este post demorou para sair pois o assunto é complicado e, para ajudar, tive um trabalho de inteligência artificial para entregar essa semana. Mas vamos adiante!

   No final do último post deduzimos equações que nos mostravam o comportamento do circuito. Mas instigo no leitor uma dúvida: Como esses capacitores influenciam a resposta do amplificador para diferentes frequências?

   Assumimos que para correntes contínuas os capacitores funcionavam como um circuito aberto, ou seja, impediam completamente a passagem de corrente. Já para correntes alternadas assumimos que os capacitores eram um curto-circuito, permitindo a passagem livre da corrente. Mas isso não pode ser dessa forma! Quero dizer: é possível que para 0 Hz o capacitor bloqueie completamente mas para 0,1 Hz conduza completamente? Esse comportamento não parece natural.

   E não é! O que acontece é que para correntes contínuas o capacitor tem alta impedância e para frequências que tendem ao infinito a impedância tende a 0. Isso pode ser visto nas equações que exibem a impedância do capacitor em função da frequência angular $\omega$.

$$\Large Z_c = \frac{1}{j\omega C} = \frac{-j}{\omega C} \ [\Omega]$$

$$\Large \lim_{\omega \rightarrow \infty} Z_c = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \frac{1}{j\omega C} = 0 \ \Omega$$

$$\Large \lim_{\omega \rightarrow 0} Z_c = \lim_{\omega \rightarrow 0} \frac{1}{j\omega C} = \infty \ \Omega$$

   Com esse conhecimento, nós colocamos a impedância dos capacitores no modelo AC de pequenos sinais e o circuito resulta no mostrado na Figura 1 (com as novas impedâncias em vermelho).

Figura 1: Modelo AC de pequenos sinais com a impedância dos capacitores em vermelho.

   Agora vamos começar a analisar o amplificador. O primeiro valor a ser determinado neste caso é a corrente de base, pois ela nos permitirá calcular a tensão de saída e, consequentemente, o ganho do amplificador. Começarei o equacionamento pelo teorema de Thevenin na entrada e pela associação das impedâncias de saída, conforme mostrado na Figura 2. Observação: depois de bater a foto, achei melhor não associar o resistor de coletor junto com as outras impedância. Por isso considerem apenas essa associação, como mostrado nas imagens posteriores.

Figura 2: Thevenin na entrada e associação na saída (obs. associação apenas de RL com Zc2)

   Para simplificar a notação das equações, vamos chamar o paralelo (R1 // R2) de Ri. Feito isso, vamos calcular o equivalente de Thevenin da entrada:

$$\Large V_{th} = V_{in} \frac{j\omega R_i C_1}{j\omega R_i C_1 + 1}$$

$$\Large Z_{th} = \frac{R_i}{j\omega R_i C_1 + 1}$$

   Associando a impedância da carga com a impedância do capacitor da saída, obtemos:

$$\Large Z_{out} = (\frac{j\omega R_L C_2 + 1}{j\omega C_2})$$

   Substituindo o resultado de nosso algebrismo no circuito, obtemos a representação da Figura 3.

Figura 3: Substituição de elementos do circuito por estruturas equivalente.

   O circuito da Figura 3 é muito mais simples, da perspectiva de quantidade de componentes, que o circuito original. Porém é equivalente, ou seja, possui o mesmo comportamento. Portanto, será baseado nele que efetuaremos os cálculos, conforme segue:

$$\Large i_b = \frac{V_{th}}{Z_{th} + r_{\pi} + (\beta+1) R_e}$$

$$\Large i_b = \frac{V_{in}}{r_{\pi} + (\beta + 1) R_e} \times \frac{j\omega R_i C_1}{j\omega C_1 R_i + (1 + \frac{R_i}{r_{\pi} + (\beta + 1) R_e})}$$

   Para determinar a tensão na carga, precisamos saber a corrente que passa pelo ramo da carga. Para isso, vamos utilizar a equação do divisor de corrente (lembrando que a tensão é negativa pois a corrente "sobe" pelo GND):

$$\Large V_L = - R_L \beta i_b \frac{R_c}{R_c + \frac{j\omega R_L C_2 + 1}{j\omega C_2}} = - R_L i_L$$

$$\Large V_L = - \beta i_b R_L  \frac{(j\omega R_c C_2)}{j\omega(R_L C_2 + R_c C_2) + 1}$$

   Substituindo o valor de corrente de base encontrado anteriormente na última equação, podemos determinar o ganho do amplificador. Nos empenhando nessa tarefa fechamos com:

$$V_L =  \frac{- \beta V_{in}}{[r_{\pi} + (\beta + 1) R_e]} \frac{j\omega C_1 R_i}{j\omega C_1 R_i + (1 + \frac{R_i}{r_{\pi} + (\beta + 1) R_e})} \frac{ R_L (j\omega R_c C_2)}{j\omega(R_L C_2 + R_c C_2) + 1}$$

$$\Large A_V = \frac{-\beta R_L R_i R_c C_1 C_2}{K_1 K_3} \frac{(j\omega)^2}{(j\omega + \frac{K_2}{K_1})(j\omega + \frac{1}{K_3})}$$

$$\Large K_1 = C_1 R_i (r_{\pi} + (\beta + 1)R_e)$$
$$\Large K_2 = r_{\pi} + (\beta + 1)R_e + R_i$$
$$\Large K_3 = R_L C_2 + R_c C_2$$

   Observação: Eu poderia ter feito a substituição $j^2 = -1$ no numerador da expressão do ganho. Eu preferi não fazer para manter $j\omega$, pois acho $j\omega$ muito simpático (P.S. j é meu número favorito).

Anexo 1: Material Extra

   Segue abaixo, jogadas, imagens e equações que eu não utilizei nesse post mas são úteis na análise do amplificador:

Figura 4: Representação do amplificador com a impedância de saída.

$$\Large Z_{in} = \frac{1}{j\omega C_1} + (R_1 // R_2 // r_{\pi} + (\beta + 1)R_e)$$
$$\Large Z_{out} = R_c \frac{j\omega R_L C_2 + 1}{j\omega (R_L + R_c)C_2  + 1}$$

   Por hoje era isso. Espero que tenham gostado do post ao lerem-no pela primeira vez. Espero que tenham entendido o post ao lerem-no pela... bom, as vezes demora mesmo. Mas, em caso de dúvida, os comentários devem ser utilizados. Até a próxima! o/