Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (2) - Análise de Pequenos Sinais (sem análise em frequência)

   Olá a todos. Hoje vamos analisar o circuito do último post utilizando a aproximação de pequenos sinais. Como dito no título, não vamos utilizar análise em frequência, ou seja, vamos considerar que os capacitores são um curto-circuito para AC, independente da frequência. Posteriormente eu vou tratar desse aspecto, considerando as funções de transferência presentes nesse circuito.

Figura 1: Modelo AC de pequenos sinais

   A Figura 1 mostra o circuito em AC. Percebe-se que a tensão de entrada está aplicada diretamente na base do transistor. Percorrendo a malha que contém a fonte de alimentação e a base do transistor, chegamos na seguinte equação para a corrente da base:

$$\large -v_{in} + r_{\pi}i_b + (\beta+1)i_b R_e = 0$$

$$\large i_b = \frac{v_{in}}{r_{\pi} + (\beta+1)R_e}$$

   A tensão de saída, por outro lado, pode ser determinada pela corrente que passa pela associação de resistores de saída.

$$\large v_{out} = -\beta i_b (R_c // R_L)$$

   Isolando a corrente de base em ambas as equações e igualando-as, achamos a expressão para o ganho do amplificador:

$$\large A_V = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-\beta (R_c // R_L)}{r_{\pi} + (\beta+1)R_e}$$

   Note que o ganho negativo indica que a fase da tensão de saída é oposta a tensão de entrada. Aqui fazemos algumas análises para sentir o circuito. Perceba que, no denominador, o termo $(\beta+1)R_e$ tende a superar muito o termo $r_{\pi}$. Portanto, podemos (como aproximação) desprezá-lo. Além disso, para valores de $\beta$ altos, podemos aproximar a razão entre $\beta$ e $(\beta+1)$ como sendo 1. Assim, após essas considerações, chegamos à forma aproximada e simplificada do ganho:

$$\large \lim_{\beta \rightarrow \infty}A_V  = \frac{-(R_c // R_L)}{R_e}$$

   Com isso, percebemos que a carga influencia no ganho.

   A impedância de entrada, vista da fonte, é:

$$\large R_{in} = R_1 // R_2 // (r_{\pi} + (\beta+1)R_e)$$

   Aqui faremos mais análises para sentir. Veja que a impedância de entrada é o paralelo entre três valores de resistência, que são $R_1$, $R_2$ e $(r_{\pi}+(\beta+1)R_e)$. Lembre-se que, ao associar resistências em paralelo, a resistência equivalente é menor que o menor valor associado. Como o termo que contém $R_e$ costuma ser muito maior que os outros dois (por ser multiplicado por $\beta+1$), podemos aproximar a impedância de entrada como sendo:

$$\large (\beta+1)R_e >> R1 // R2 \rightarrow R_{in} = R_1 // R_2$$

   Ou seja, a impedância de entrada vista pela fonte depende, majoritariamente, dos resistores que escolhemos para fazer a polarização DC do circuito.

   A impedância de saída, vista da perspectiva da carga, é igual a $R_c$.

   Até agora, nós analisamos o circuito e deduzimos as equações para a impedância de entrada, a impedância de saída e para o ganho de tensão. Nós vamos separar nossas conclusões em 2 conjuntos. O primeiro conjunto, que vou chamar de 1ª aproximação, é um conjunto simplificado de equações. Elas tem a vantagem de nos oferecerem uma análise rápida do circuito, em detrimento da precisão.

$$\large R_{in} = R_1 // R_2$$

$$\large R_{out} =  R_c // R_L$$

$$\large A_V = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-R_{out}}{R_e}$$

   O segundo conjunto de equações, que chamarei de 2ª aproximação, contém equações mais complexas, mas que representam com maior fidelidade o comportamento do circuito. As equações são:

$$\large R_{in} = R_1 // R_2 // (r_{\pi} + (\beta+1)R_e)$$

$$\large R_{out} =  R_c // R_L$$

$$\large A_V = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-\beta R_{out}}{r_{\pi} + (\beta+1)R_e}$$

   E por hoje era isso. No próximo post vou mostrar uma 3ª aproximação, que inclui a influência das funções de transferência para analisarmos (pelo menos superficialmente) a resposta em frequência do circuito. Abraço e até a próxima.

Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (2) - Polarização com Divisor de Tensão

   Olá a todos. Hoje vamos começar a analisar outro amplificador utilizando a aproximação de pequenos sinais. Mas, antes disso, vamos conhecer seu esquema elétrico e comentar sobre sua polarização. Você vai perceber que esse post faz referências ao circuito do primeiro exemplo. O mesmo pode ser encontrado neste link. De resto, mãos à massa!

   A polarização do amplificador mostrado na Figura 1 é conhecida como polarização por divisor de tensão, devido ao divisor de tensão na base do transistor. Essa configuração é mais comum na prática do que o exemplo do último post por possuir uma vantagem determinante: constância em relação ao ganho do transistor. Mas o que quero dizer com isso?

Figura 1: Circuito exemplo de polarização por divisor de tensão

   A polarização de base, topologia do exemplo no post anterior, é sensível ao ganho do transistor utilizado. Para um ganho 100, teremos uma determinada tensão de polarização. Para um ganho 300, a tensão de polarização será muito diferente.

   A polarização por divisor de tensão, por sua vez, é muito menos sensível as variações de ganho. Vamos a um exemplo prático. O transistor BC337 pode ter ganhos entre 100 e 630. Ou seja, ao projetar um circuito com esse componente, temos que nos certificar que nosso projeto é funcional tanto para o ganho mínimo (100) quanto para o máximo (630). Caso contrário, corremos o risco de vermos nosso produto não funcionar sempre que compramos um novo lote de transistores. A Figura 2 mostra a tensão de polarização em função do ganho para a topologia do exemplo 1 (polarização de base) e para o circuito desse exemplo (polarização por divisor de tensão).

Figura 2: Comparação da Tensão de Coletor x Ganho do Transistor

   Portanto, é perceptível que o circuito é muito constante em relação ao ganho do transistor. Mas, e quanto aos outros parâmetros? Como ele se comporta em relação as variações nos valores dos resistores? Quanto a variação da tensão de alimentação?

   Para investigar isso, utilizei o método de Monte Carlo (ver observação 1 no final do post). Para cada parâmetro (Vcc, R1, R2, Rc, Re e $\beta$) gerei um vetor de 11 elementos igualmente espaçados, variando entre 90% e 110% do valor nominal (com exceção do $\beta$, que gerei 11 elementos entre 100 e 630). Pela equação de polarização do circuito (mostrada abaixo), simulei todas as combinações possíveis de parâmetros (1771561 possibilidades, o que levou cerca de duas horas de processamento) e plotei o histograma da Figura 3.

$$\large V_c = V_{cc} - R_c \beta \frac{V_{th} - 0.7}{R_{th} + (\beta+1)R_e}$$

$$\large V_{th} = \frac{V_{cc}R_2}{R_1+R_2}$$

$$\large R_{th} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$$

Figura 3: Histograma das possibilidade obtidas através do método de Monte Carlo (resistores de 10%)

   Repeti a simulação com variação bilateral de 5% e de 1% (+/- 5% e +/- 1%) para verificar o efeito do uso de resistores de maior precisão. As variações da fonte e do ganho do transistor foram mantidas em relação ao histograma da Figura 3, para considerar apenas a influência da tolerância dos resistores. Os resultados estão apresentados nos histogramas das Figuras 4 e 5.

Figura 4: Histograma das possibilidades obtidas através de Monte Carlo (resistores de 5%)

Figura 5: Histograma das possibilidades obtidas através de Monte Carlo (resistores de 1%)

   Analisando os histogramas, vemos que para resistores de 10% a faixa da tensão de coletor ficou entre 3,3 V e 8,3 V. Aumentando a precisão dos resistores para 1%, ficamos em uma faixa de 4,6 V e 7,4 V. Conforme analisado na Figura 2, a tensão de polarização é bastante insensível as variações de ganho de transistor. Assim sendo, é possível inferir que a variação ainda vista na Figura 5 se deve, majoritariamente, as variações de Vcc. A investigação do comportamento do circuito em função da tensão de alimentação é interessante, e será realizada em um próximo post.

   Por hoje era isso. Fiquei muito satisfeito com as análises feitas nesse post. Iniciei o uso de uma nova ferramenta estatística, que foi o método de Monte Carlo, e pude avaliar o comportamento estatístico do circuito, ao invés de apenas analisar o caso nominal e os piores casos. Espero que  também tenham gostado. Até a próxima!

   Observação 1: No método de Monte Carlo os vetores são gerados aleatoriamente seguindo uma distribuição estatística conhecida (e.g. distribuição normal). Neste caso, gerei vetores de parâmetros igualmente espaçados. No meu entendimento, isso é equivalente a assumir uma distribuição retangular (uniforme), o que, provavelmente, não é o caso. Porém, para efetivamente utilizar o método com distribuição normal, eu precisaria de vetores maiores. Ao trabalhar com vetores de 50 elementos, por exemplo, eu terminaria com um vetor solução de 1,56x10^10 (50^6) posições. Isso é demais para o poder computacional que tenho e para minha vontade de otimizar código. Então, pelo menos por hoje, manteremos a distribuição retangular.

Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (1) - Resultados Experimentais e Considerações

   Bom dia a todos. Em nossa última aventura resolvemos um circuito amplificador com a aproximação de pequenos sinais. Porém, em nossa simulação com o Micro-Cap, percebemos que mesmo extrapolando as condições do modelo, o amplificador continuava se comportando (aparentemente) de forma linear. Em nosso post de hoje vamos dar uma olhada nos resultados experimentais da minha montagem e fazer considerações sobre os mesmos.

   O esquema do circuito montado está descrito na Figura 3 do post Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (1) - Resistência de Entrada e Saída e Modelo PI. Eu mantive a alimentação do circuito em 12 V, utilizei como entrada uma senoide de amplitude controlável e frequência de 1 kHz e me certifiquei que o transistor utilizado possui um ganho beta próximo de 300. Com essa montagem eu obtive as formas de onda no amplificador mostradas abaixo.

Figura 1: Teste com amplitude dentro da aproximação de pequenos sinais

   Nesse primeiro teste eu ajustei a amplitude da tensão de entrada em 402 mV (canal verde, 200 mV/divisão). Essa tensão ainda está dentro da validade do modelo de pequenos sinais. Na saída foi medida uma amplitude de 1,92 V (canal amarelo, 2 V/divisão) com fase invertida em relação a entrada. Assim, o ganho é de -4,77. Esse valor está relativamente próximo ao ganho teórico calculado (-4,33) e a diferença pode ser explicada pelo ganho do transistor real ser diferente do assumido teoricamente e pela tolerância dos resistores.

   Abaixo estão os resultados de um outro teste. A amplitude do sinal de entrada foi aumentada para 1,043 V com a intenção de verificar se distorções iriam ocorrer.

Figura 2: Teste com a amplitude extrapolando a aproximação de pequenos sinais.

   A amplitude de saída foi 4,83 V, resultando em um ganho de -4,63. Percebemos que, de fato, houve uma redução no ganho, indicando o começo da perda de validade do nosso modelo. Mas, visualmente, não são perceptíveis distorções na forma de onda de saída.

   Sem postar imagem de todos os testes, segue abaixo uma tabela com a amplitude dos sinais de entrada aplicados e o ganho verificado em cada teste:

Amplitude do Sinal de Entrada $\rightarrow$ Ganho verificado

0,316 V $\rightarrow$ 4,775

0,402 V $\rightarrow$ 4,776

0,629 V $\rightarrow$ 4,674

1,043 V $\rightarrow$ 4,630

2,083 V $\rightarrow$ 4,590

   Percebemos que conforme a amplitude da tensão de entrada aumenta, o ganho diminui. Se considerarmos o ganho de 4,775 como nominal, temos uma redução de 3,87% quando a entrada for 2,083 V.

Considerações Finais

   Para fechar esse exemplo, a simulação estava correta. A perda de validade do modelo, que eu esperava se manifestar como distorções visíveis, se manifestou como uma diminuição do ganho. É difícil dizer pelas imagens se o ganho apenas diminuiu ou a amplitude foi atenuada (parcialmente ceifada) devido a distorções. Além disso confirmamos que o modelo de pequenos sinais se aplica na prática.

   Por hoje era isso. Para expor qualquer dúvida, sugestão ou crítica, deixe um comentário. Façam o mesmo se tiverem problemas de visualização das imagens. Um abraço a todos.