Transistor BJT em AC: De onde vem a aproximação de pequenos sinais?

     Bom dia a todos. Do calor da minha cama, onde ainda estou deitado em uma fria manhã de sábado, vou discorrer sobre o que sei e pesquisar o que não sei sobre o modelo de pequenos sinais que utilizamos na análise AC de transistores BJT (inglês, Transistor de Junção Bipolar). Para começarmos, vamos analisar o circuito da Figura 1.

Figura 1: Circuito DC + AC

     A primeira análise que faremos é DC e, portanto, vamos assumir que \(v_{in} = 0\). Isso significa dizer que não há, por enquanto, sinal AC na entrada de nosso circuito. Dessa análise surge a seguinte equação:

$$\huge I_B = \frac{V_{B} - V_{BE}}{R_B} = I_s e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}$$

     Onde \(V_T\) é a tensão térmica. Para uma temperatura de 20°C vamos considerá-la como 25 mV. \(V_{BE}\), por sua vez, é a tensão contínua sobre a junção base-emissor do transistor. Essa tensão pode ser determinada se conhecermos o valor de \(V_B\), \(R_B\) (que são do nosso circuito) e \(I_s\) (que é uma característica do transistor que estamos usando, e cujo valor pode ser encontrado no datasheet).

     Agora vamos determinar uma equação semelhante para a tensão AC de entrada. Para isso vamos considerar a fonte DC (\(V_B = 0\)). Nesse ponto alguém poderia exclamar: "Mas fazendo \(V_{B} = 0\) a junção base-emissor distorceria o sinal AC \(V_{in}\), por não estar polarizada!!!!!" Mas lembre-se que a junção base-emissor já está polarizada. Foi justamente essa polarização que determinamos durante a análise DC. O que estamos analisando agora são pequenas variações de tensão sobre aquela polarização.

     Desenvolvendo a equação, chegaremos ao seguinte resultado (semelhante a análise DC):

$$\huge i_b = \frac{v_{in} - v_{be}}{R_B} = I_s e^{\frac{v_{be}}{V_T}}$$

     A tensão sobre a junção base-emissor do transistor é a superposição (ou seja, a soma) da parcela DC (\(V_{BE}\)) e AC (\(v_{be}\)). Assim, chegamos na equação:

$$ \huge I_b = I_s e^{\frac{V_{BE} + v_{be}}{V_T}} = I_s e^{\frac{V_{BE}}{V_T}} e^{\frac{v_{be}}{V_T}} $$

     Se repararmos na primeira equação, que chegamos como resultado da análise DC, podemos fazer a seguinte substituição:

$$ \huge I_b = I_B e^{\frac{v_{be}}{V_T}} $$

     Se \(v_{be} << V_T\) podemos fazer a seguinte aproximação de pequenos sinais (esse passo requer uma explicação mais detalhada, que será dada em outra oportunidade):

$$\huge e^{\frac{v_{be}}{V_T}} \approxeq (1 + \frac{v_{be}}{V_T}) $$

     Substituindo essa aproximação na equação anterior:

$$ \huge I_b = I_B + I_B \frac{v_{be}}{V_T} $$

     Por fim, vamos substituir a razão entre \(I_B\) e \(V_T\) por um valor especial de resistência, chamada resistência pi. Assim:

$$ \huge I_b = I_B +\frac{v_{be}}{r_{\pi}} $$

     Essa resistência \(r_{\pi}\) é a resistência AC do transistor no circuito em que se encontra. Perceba que ela depende da corrente de base DC, ou seja, depende de como polarizamos nosso circuito. Também depende da temperatura, visto que a tensão térmica está em sua equação.

     Se você achou isso confuso, não se sinta mal. Você não está sozinho. Mas tenho boas novas para você: é possível simplificar o modelo. No próximo post vamos descobrir o que nos permitiu substituir a exponencial quando fizemos a aproximação de pequenos sinais e discutir até que ponto essa ideia é válida.

     E por hoje era isso (até por que 10:30 já constitui horário para sair da cama). Em caso de dúvida, correções ou sugestões, deixe um comentário ou envie um e-mail (prefiro comentário, please). Se tiverem dificuldades de visualizar as equações, também avisem! Abraço a todos e até a próxima.