Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 178

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A oitava questão que vou tratar é a questão 178.

Enunciado

Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = -h² + 22h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse 

momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como:

Alternativas

a) muito baixa

b) baixa

c) média

d) alta

e) muito alta

Desenvolvimento

A equação da temperatura em função das horas do dia é uma equação de segundo grau e, portanto, uma parábola. A equação dessa parábola possui os coeficiente a = -1, b = 22 e c = -85. O fato do coeficiente "a" ser negativo indica que a parábola possui concavidade voltada para baixo e, portanto, possui um valor máximo.

É útil lembrar que o valor máximo da parábola ocorrerá em h = -b / 2a. Substituindo "a" e "b" pelo valor dos coeficientes, verificamos que o máximo ocorre em:

h = -(-22) / (2*(-1))

h = 22/2

h = 11 horas.

Substituindo h = 11 na equação de T(h) obtemos T = 36,0 °C, que é a temperatura máxima da estufa. Isso corresponde a uma temperatura alta segundo a tabela.

É isso nesse post. Encontrou algum erro? Tem alguma sugestão ou crítica? Por favor, deixe um comentário! Assim que eu tiver tempo (o que deve ocorrer nos finais de semana) eu leio!

Abraço a todos e até mais.

Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 174

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A sétima questão que vou tratar é a questão 174.

Enunciado

Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2).

De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada.

Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é:

Alternativas

a) 12,5 m

b) 17,5 m

c) 25,0 m

d) 22,5 m

e) 32,5 m

Desenvolvimento

Perceba que nos 10 m de largura da área delimitada conseguimos colocar 4 contêineres, já que os mesmos tem largura de 2,5 m (10 / 2,5 = 4). No comprimento conseguimos colocar 5 contêineres, já que 32 / 6,4 = 5. Portanto conseguimos colocar 5 * 4 = 20 contêineres no espaço delimitado. Para alocar todos os 100 contêineres precisamos fazer 5 camadas, já que 5 * 20 = 100. A altura das 5 camadas é de 12,5 m (já que 5 * 2,5 = 12,5 m).

Outras orientações de contêineres não são possíveis por não preencher completamente o espaço delimitado.

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Abraço a todos!

Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 167

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A sexta questão que vou tratar é a questão 167.

Enunciado

A expressão "Fórmula de Young" é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada a dose do adulto:

Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 mg de um medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da medicação Y administrada a criança estava correta.

Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a:

Alternativas

a) 15
b) 20
c) 30
d) 36
e) 40

Desenvolvimento

A primeira coisa que pensei ao ler a questão foi se a fórmula de Young era em homenagem a uma pessoa ou se era devido ao fato de calcular a dose para crianças.

Mas voltando à questão, a primeira coisa que devemos fazer é determinar a idade da criança a partir da dosagem anterior. Colocando as informações na equação, chegamos a:

14 = 42 * ( (Idade) / (Idade + 12) )

Multiplicando ambos os lados pelo denominador da parcela à esquerda, chegamos a:

14 * Idade + 168 = 42 * Idade

Isolando a idade chegamos a 6 anos.

Colocando a idade e as informações do medicamento X na equação chegamos a:

dose de criança = 60 * ( (6) / (6 + 12) ) = 60 * 6 / 18 = 20 mg

Portanto a dose infantil do medicamento X é 20 mg.

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Abraço a todos!

Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 166

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A quinta questão que vou tratar é a questão 166.

Enunciado

As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.

A quantidade em quilograma, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de:

Alternativas

a) 4,129 x 10^3

b) 4,129 x 10^6

c) 4,129 x 10^9

d) 4,129 x 10^12

e) 4,129 x 10^15

Desenvolvimento

É uma questão simples mas pode confundir. Ao converter o número do enunciado para notação científica obtemos 4,129x10^6 toneladas. Mas as alternativas são referentes a quilogramas. Como cada tonelada equivale a 1000 kg, precisamos multiplicar o número do enunciado por 1000, tornando o 4,129x10^6 toneladas em 4,129x10^9 quilogramas, que é a resposta da questão.

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Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 153

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A quarta questão que vou tratar é a questão 153.

Enunciado

O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;

3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

Alternativas

a) 2

b) 4

c) 9

d) 40

e) 80

Desenvolvimento

No enunciado é questionado o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos. Para escolher o mínimo de escolas devemos dar o máximo de ingressos possíveis para cada escola. Mas devemos atentar para os três critérios do enunciado.

O critério 1 diz que "cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão". Isso significa devemos dividir os 400 ingressos da sessão vespertina entre um conjunto de escolas e os 320 da sessão noturna entre outro conjunto de escolas.

O critério 2 diz que "todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos". Isso significa que ao dividir os 400 ingressos da sessão vespertina devemos chegar a lotes de tamanho igual a divisão dos 320 ingressos da sessão noturna.

O critério 3 diz que "não haverá sobra de ingressos", ou seja, a divisão dos 400 ingressos e dos 320 ingressos será exata, não deixando resto.

Se fizermos a fração entre os ingressos vespertinos e noturnos, veremos que 400 / 320 = 5 / 4. Ou seja, existe 5 partes de ingressos vespertinos e 4 partes de ingressos noturnos, o que totaliza 9 partes e nos dá a resposta, mas vamos conferir.

Perceba que ao dividir 400 por 5 chegamos a 80 ingressos. Se dividirmos 320 por 4 chegamos aos mesmos 80 ingressos. Assim atendemos ao critério 3.

Verifique que cada lote tem a mesma quantidade de 80 ingressos. Assim atendemos o critério 2.

Por fim, atente ao fato que os 400 ingressos foram dividindo entre si, não se misturando com os outros 320. Com isso garantimos que nenhuma escola receba parte dos ingressos de uma sessão e parte da outra, garantindo o critério 1.

Essa divisão em lotes de 80 ingressos faz com que o total de 720 ingressos seja dividida em 9 partes. Não há número maior que 80 que faça divisão sem restos entre 400 e 320, ou seja, 80 é o máximo divisor comum.

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Abraço a todos!

Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 149

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A terceira questão que vou tratar é a questão 149.

Enunciado

Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.

De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são:

Alternativas

a) (290 ; 20)
b) (410, 0)
c) (410 ; 20)
d) (440 ; 0)
e) (440 ; 20)

Desenvolvimento

Se a distância entre as paradas existentes e a nova parada a ser acrescentada são iguais, isso significa que devemos posicionar a nova parada exatamente na metade da distância entre as paradas atuais. Mas qual é essa distância? Até o fim da rua horizontal temos 550 - 30 = 520 metros (vou assumir que a unidade seja metros para uma questão de entendimento). Na rua vertical temos uma distância de 320 - 20 = 300 metros. Assim a distância total entre as paradas atuais é 520 + 300 = 820 metros.

Metade da distância entre as paradas atuais é 820 / 2 = 410 metros. Perceba que partindo do ponto P (30 ; 20) e andando 410 metros vamos acabar no ponto (440 ; 20), pois ainda não atingimos a rua vertical.

Portanto, a parada deve ser colocada em T = (440 ; 20).

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Abraço a todos!

Exercício Resolvido ENEM 2015: Caderno 6 Cinza, Matemática, Questão 144

Olá a todos. Vou fazer uma série de posts das questões do ENEM. Mais especificamente algumas questões de matemática do caderno cinza (caderno 6). A escolha desses exercícios foi feita a partir de questionamentos do meu amigo que emprestou-me a prova.

A segunda questão que vou tratar é a questão 144.

Enunciado

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por:

Alternativas

a) 9! / 2!
b) 9! / (7! * 2!)
c) 7!
d) (5! / 2!) * 4!
e) (5! / 4!) * (4! / 3!)

Desenvolvimento

Essa questão é facilmente resolvida por alguém que saiba a equação que calcula o número de combinações em um conjunto. Mas, mesmo para quem não sabe essa equação, é possível obter o resultado com um desenvolvimento das combinações possíveis.

Talvez não esteja claro na imagem acima, mas há 9 locais vagos para as 7 pessoas da família. Assim sendo, para a primeira pessoa há 9 possibilidades de assentos. Para a segunda pessoa restaram 8 possibilidades. Para a terceira pessoas sobraram 7 possibilidades. Esse raciocínio segue até a sétima pessoa, para a qual restará 3 possibilidades. Ao acomodar toda a família ainda restarão 2 lugares vagos, já que tínhamos 9 assentos para 7 pessoas.

Calculando o produto das possibilidades chegaremos ao seguinte número de permutações:

Número de Permutações = 9*8*7*6*5*4*3

Vamos lembrar que 9! é igual a:

9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

Para "transformar" esse 9! na quantidade de possibilidades que encontramos, precisamos eliminar o 2 e o 1 (eliminamos o 1 é só para evidenciar o padrão utilizado, já que ele não faz nada no produto). Para eliminar esses termos precisamos dividir 9! por 2*1. Mas 2*1 é igual a 2!. Assim:

9! / 2! = (9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (2*1) = 9*8*7*6*5*4*3 = Número de Permutações

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Abraço a todos!