Transistor BJT em AC: Análise de amplificador (1) - Ganho de Tensão

     Boa tarde a todos. Aproveito essa tarde de quinta-feira (feriado!) para analisar o circuito da Figura 1 aplicando os resultados obtidos nos últimos posts. Analisaremos diversas características dele, como seu ganho de tensão, sua resistência de entrada e de saída. Depois vamos, a partir dele, definir um modelo AC do transistor e, por fim, vamos simular o circuito e o modelo. Mas, no post de hoje, vamos apenas determinar seu ganho de tensão e a máxima tensão de entrada que mantém a aproximação de pequenos sinais válida. Sem mais tardar, mão a obra.

Figura 1: Circuito a ser analisado

     O primeiro passo é executar a análise DC. Para isso consideramos a entrada alternada zerada. Então calculamos a malha mostrada na Figura 2.

Figura 2: Análise DC (fonte senoidal igual a zero)

$$ \huge -2 + 68K \times I_B + V_{BE} = 0 $$

     Substituindo a corrente de base pela expressão da junção base-emissor do transistor, obtemos:

$$ \huge -2 + 68K \times I_oe^{\frac{V_{BE}}{V_T}} + V_{BE} = 0 $$

     Resolvendo a expressão numericamente, chega-se a um valor de \(V_{BE}\) de 0,6975 V. Portanto \(I_B\) é 19,11 uA. Observe que tivemos bastante trabalho para chegar nesse valor. Foi necessário utilizar métodos numéricos para calcular a corrente da base. Para simplificar, podemos assumir que a queda de tensão na junção base-emissor é sempre igual a 0,7 V. Calculando com essa simplificação chegamos rapidamente em uma corrente de base de 19,12 uA, o que representa um erro de 0,05 %. Considerando aceitável esse erro, faremos essa simplificação em todos os exercícios posteriores para diminuirmos nosso trabalho.

     Sabendo a corrente de base, podemos calcular a corrente de coletor, que será 300 vezes maior e, portanto, igual a 5,736 mA. Devido a queda de tensão no resistor que está no coletor, a tensão DC no terminal de saída do nosso amplificador é 6,624 V.

     Nossa análise DC está concluída e o resultado dela expresso na Figura 3.

Figura 3: Resultado da análise DC

     Na nossa análise AC, ignoramos (ou seja, zeramos) a fonte DC de 2 V. Além disso, vamos calcular a resistência AC da base do transistor:

$$ \huge r_{\pi} = \frac{V_T}{I_B} \approxeq 1300  \Omega$$

     Portanto, do ponto de vista da fonte AC, é como se a junção base-emissor apresentasse uma resistência de 1300 Ohms, que está em série com o resistor da base de 68 KOhms. Assim, a resistência total enxergada pelo sinal de entrada é 69300 Ohms. Dessas informações podemos fazer os seguintes cálculos:

Corrente AC de Base

$$ \huge i_b = \frac{v_{in}}{69300} $$

Tensão AC de Saída

$$ \huge v_{out} = - \beta \times i_b \times 1K $$

     O valor negativo significa que a tensão de saída está 180° defasada da tensão de entrada. Para entender isso, perceba que quando o sinal de entrada aumenta, a corrente de base aumenta. Isso provoca um aumento na corrente de coletor. Mais corrente de coletor causa uma queda de tensão maior no resistor, que faz a tensão no terminal de saída diminuir. Então o sinal negativo nos informa que quando a tensão de entrada sobe a tensão de saída desce.

     Substituindo uma equação na outra e isolando a razão saída por entrada (ou seja, o ganho do amplificador):

$$ \huge A_v = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-\beta \times 1K}{69300} = -4,33 $$

     Lembrem-se que no último post eu comentei que conforme a tensão sobre \(r_{\pi}\) aumenta, mais erro obtemos da aproximação de pequenos sinais. Se nós considerarmos que a maior tensão válida em \(r_{\pi}\) é 10 mV, quanta tensão pode existir na entrada?

     Perceba que na entrada existe um divisor de tensão para o sinal AC, que consiste do resistor de base de 68 KOhms e da resistência AC de 1300 Ohms. Se sobre a resistência AC nós admitimos até 10 mV, na entrada nós podemos aplicar até 0,533 V. Como nós sabemos que o ganho é 4,33, a tensão de saída para essa entrada é 2,31 V. Se a tensão de entrada subir muito mais que meio volt, haverá distorção na saída, de forma que nossos cálculos deixam de ser válidos.

     Note que na análise DC a saída está em aproximadamente 6 V. Sendo o circuito alimentado com 12 V, somos tentados a dizer que o sinal de saída pode variar aproximadamente 6 V para cima (atingindo 12 V) e 6 V para baixo (atingindo 0 V). Essa variação máxima que determinamos na análise DC se chama máxima excursão DC. Mas nossa análise AC nos diz que a saída pode subir e descer apenas 2,31 V, que é a máxima excursão AC. O que isso significa?

     Embora a saída possa, de fato, subir e descer 6 V, ela fará isso de forma não linear. Se eu entrar com um sinal senoidal de 2 V, seria esperado na saída um sinal senoidal de 4,62 V. Mas isso não acontece, pois quanto mais a entrada ultrapassa meio volt, mais distorcido o sinal de saída se torna. Esse fato ficará claro quando simularmos o circuito.

     Por hoje era isso. Calculamos o ganho de um amplificador utilizando o modelo de pequenos sinais. Explicamos o significado de máxima excursão de sinal DC e AC e calculamos até que ponto nossa aproximação de pequenos sinais é válida. No próximo post vamos definir os valores de resistência de entrada e saída do nosso amplificador e simular o circuito, evidenciando as características determinadas na análise. Qualquer sugestão, crítica ou dúvida, deixem um comentário ou enviem um e-mail. Ajam de forma similar se tiverem problemas na visualização das equações. Abraço.

Transistor BJT em AC: Truncamento da Série de Taylor

     Noite fria de domingo, que se encerra comigo na cama, fugindo do frio da serra gaúcha. Mas acho que algo no fim de semana ficou em aberto. Uma ponta solta que pretendo atar neste momento. De onde vem a aproximação de pequenos sinais?

     No post "Transistor BJT em AC: De onde vem a aproximação de pequenos sinais?" foi feita a seguinte aproximação:

$$ \huge e^{\frac{v_{be}}{V_T}} \approxeq (1 + \frac{v_{be}}{V_T})$$

     De onde isso surgiu? E até onde isso é válido? Essas são as perguntas que pretendo discutir nesse post.

     Da série de Taylor, sabemos que:

$$ \huge e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}+ ...$$

     Porém essa série é infinita. Se quiséssemos computar um valor de \(e^x\) com ela, ainda precisaríamos realizar infinitas somas, o que não é prático. Mas podemos utilizar um raciocínio interessante para nos poupar trabalho. Perceba que para valores de x menores que 1, quanto menor o valor de x menos os termos de maior ordem influenciam. E se os termos de maior ordem não influenciam muito, podemos aproximar o cálculo apenas com os dois primeiros termos da série. Isso se chama truncar (cortar uma série infinita em algum ponto). O truncamento é necessário para processos computacionais (sejam eles a mão ou em computadores), mas inevitavelmente inserem algum erro no processo. Vamos resolver dois exemplos:

Exemplo 1: \(e^{0,1}\)

$$ \huge e^{0,1} = 1.105170918075648 $$

$$ \huge 1 + x = 1 + 0,1 = 1,1 $$

$$ \huge erro = \frac{\vert 1,1 - e^{0,1} \vert}{e^{0,1}} = 0,468\% $$

Exemplo 2: \(e^{0,5}\)

$$ \huge e^{0,5} = 1.648721270700128 $$

$$ \huge 1 + x = 1 + 0,5 = 1,5 $$

$$ \huge erro = \frac{\vert 1,5 - e^{0,5} \vert}{e^{0,5}} = 9,02\% $$

     Percebemos que quanto maior o valor de x, mais impreciso fica o resultado tomado apenas pelos dois primeiros termos da série. Podemos plotar o erro para termos uma ideia melhor.

Figura 1: Erro de aproximação em função do valor de x

     

     Então percebemos, graficamente, que quanto maior o x, mais imprecisa fica nossa aproximação. Mas até que ponto podemos aproximar com os dois primeiros termos da série? Depende de quanto erro você está disposta a aceitar. Para valores da faixa de 5%, podemos trabalhar com x até 0,3 com segurança. Lembrando que x é, na verdade, a razão entre a tensão AC na junção base-emissor pela tensão térmica, temos:

$$ \huge v_{be_{max}} = 7,5 mV $$

     Mas a literatura sobre isso pode variar. No meu curso de Eletrônica I considera-se válida a aproximação de pequenos sinais para uma tensão AC entre base e emissor de 10 mV. Minha intenção nesse post não é bater o martelo sobre essa questão. Apenas mostrar que há um erro e que ele aumenta de acordo com a amplitude da tensão AC nessa junção.

     Por hoje era isso. Agora posso dormir descansado, sabendo que não deixei esse assunto em aberto. Para quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões, usem os comentários ou enviem um e-mail. Façam o mesmo se tiverem problemas em visualizar as equações. Abraço e até a próxima.

Transistor BJT em AC: De onde vem a aproximação de pequenos sinais?

     Bom dia a todos. Do calor da minha cama, onde ainda estou deitado em uma fria manhã de sábado, vou discorrer sobre o que sei e pesquisar o que não sei sobre o modelo de pequenos sinais que utilizamos na análise AC de transistores BJT (inglês, Transistor de Junção Bipolar). Para começarmos, vamos analisar o circuito da Figura 1.

Figura 1: Circuito DC + AC

     A primeira análise que faremos é DC e, portanto, vamos assumir que \(v_{in} = 0\). Isso significa dizer que não há, por enquanto, sinal AC na entrada de nosso circuito. Dessa análise surge a seguinte equação:

$$\huge I_B = \frac{V_{B} - V_{BE}}{R_B} = I_s e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}$$

     Onde \(V_T\) é a tensão térmica. Para uma temperatura de 20°C vamos considerá-la como 25 mV. \(V_{BE}\), por sua vez, é a tensão contínua sobre a junção base-emissor do transistor. Essa tensão pode ser determinada se conhecermos o valor de \(V_B\), \(R_B\) (que são do nosso circuito) e \(I_s\) (que é uma característica do transistor que estamos usando, e cujo valor pode ser encontrado no datasheet).

     Agora vamos determinar uma equação semelhante para a tensão AC de entrada. Para isso vamos considerar a fonte DC (\(V_B = 0\)). Nesse ponto alguém poderia exclamar: "Mas fazendo \(V_{B} = 0\) a junção base-emissor distorceria o sinal AC \(V_{in}\), por não estar polarizada!!!!!" Mas lembre-se que a junção base-emissor já está polarizada. Foi justamente essa polarização que determinamos durante a análise DC. O que estamos analisando agora são pequenas variações de tensão sobre aquela polarização.

     Desenvolvendo a equação, chegaremos ao seguinte resultado (semelhante a análise DC):

$$\huge i_b = \frac{v_{in} - v_{be}}{R_B} = I_s e^{\frac{v_{be}}{V_T}}$$

     A tensão sobre a junção base-emissor do transistor é a superposição (ou seja, a soma) da parcela DC (\(V_{BE}\)) e AC (\(v_{be}\)). Assim, chegamos na equação:

$$ \huge I_b = I_s e^{\frac{V_{BE} + v_{be}}{V_T}} = I_s e^{\frac{V_{BE}}{V_T}} e^{\frac{v_{be}}{V_T}} $$

     Se repararmos na primeira equação, que chegamos como resultado da análise DC, podemos fazer a seguinte substituição:

$$ \huge I_b = I_B e^{\frac{v_{be}}{V_T}} $$

     Se \(v_{be} << V_T\) podemos fazer a seguinte aproximação de pequenos sinais (esse passo requer uma explicação mais detalhada, que será dada em outra oportunidade):

$$\huge e^{\frac{v_{be}}{V_T}} \approxeq (1 + \frac{v_{be}}{V_T}) $$

     Substituindo essa aproximação na equação anterior:

$$ \huge I_b = I_B + I_B \frac{v_{be}}{V_T} $$

     Por fim, vamos substituir a razão entre \(I_B\) e \(V_T\) por um valor especial de resistência, chamada resistência pi. Assim:

$$ \huge I_b = I_B +\frac{v_{be}}{r_{\pi}} $$

     Essa resistência \(r_{\pi}\) é a resistência AC do transistor no circuito em que se encontra. Perceba que ela depende da corrente de base DC, ou seja, depende de como polarizamos nosso circuito. Também depende da temperatura, visto que a tensão térmica está em sua equação.

     Se você achou isso confuso, não se sinta mal. Você não está sozinho. Mas tenho boas novas para você: é possível simplificar o modelo. No próximo post vamos descobrir o que nos permitiu substituir a exponencial quando fizemos a aproximação de pequenos sinais e discutir até que ponto essa ideia é válida.

     E por hoje era isso (até por que 10:30 já constitui horário para sair da cama). Em caso de dúvida, correções ou sugestões, deixe um comentário ou envie um e-mail (prefiro comentário, please). Se tiverem dificuldades de visualizar as equações, também avisem! Abraço a todos e até a próxima.

300.000 Visualizações do Blog!

Olá a todos. Esse post é simplesmente para comemorar a marca de trezentas mil visualizações neste blog! \o/

Nestes pouco mais de 5 anos de blog escrevi sobre eletrônica, matemática e física. Me arrisquei e escrevi um pouco sobre computação e biografias de cientistas importantes. Fiz sucesso resolvendo algumas questões e ousei publicar meros devaneios provenientes da minha cabeça. Nesse meio tempo muitas coisas aconteciam na minha vida pessoal. Comecei a graduação em engenharia de controle e automação, iniciei minha carreira profissional, me envolvi em relacionamentos, fiz pesquisa científica, publiquei um artigo e o apresentei em congresso. Viajei, ri, chorei, achei que não ia dar e achei que já estava bom. Olhando para trás vejo quanta coisa foi conquistada e me orgulho da trajetória que estou trilhando.

Porém o blog ficou em segundo plano. Embora me esforce para responder os comentários e as dúvidas por e-mail, a frequência de publicação diminuiu. Isso foi inevitável, mas não me desculpo por isso. Espero que entendam que isso é necessário para que outras coisas venham, coisas melhores.

Portanto não vou prometer aumentar a frequência de posts ou expandir o conteúdo. O que vou prometer é manter o blog por aqui e sem propaganda. Vou tentar continuar respondendo os comentários e as dúvidas por e-mail. E sempre que tiver vontade, quando sobrar tempo e me bater aquela saudade de estar neste ambiente virtual, vou escrever. Sobre o que? Sobre eletrônica, matemática e física, sobre pessoas que eu admiro e meus devaneios!

Agradeço a todos que leem este blog e espero ter ajudado vocês de alguma forma.

Até a próxima e nunca parem de aprender!!!

Desabafo de um Estudante de Engenharia

Olá pessoas. Mais uma da série "publicando o que estava nos rascunhos a mais de um ano". Esse post seria de dicas para estudantes de engenharia não sofrerem tanto durante a graduação. Mas o tópico foi alterado por dois motivos:

O primeiro é a falta de competência minha para aconselhar como os outros devem estudar. Não acho que existe fórmula pronta e universal. Cada um deve buscar adequar um método ao seu estilo e sua realidade. Nem tudo que funciona para uma pessoa vai funcionar para as outras.

O segundo motivo é que há um tema que eu gostaria de abordar muito mais, e que me deixa indignado. E esse tema é a arrogância dos estudantes e profissionais de algumas áreas. Eu vou falar aqui majoritariamente da engenharia, mas sabemos que essas atitudes são praticadas por estudantes de outros cursos, comumente direito e medicina.

Peço que entendam que eu não estou generalizando, mas apenas expressando minha opinião. Os comentários estão democraticamente abertos a qualquer um que queira expressar uma opinião diferente da minha.

Engenharia é o curso mais difícil, etc e tal 

No facebook, na página "Engenharia Depressão" vemos muitas piadas envolvendo a falta de vida social dos estudantes de engenharia como, por exemplo 'sonhava em fazer engenharia, hoje não durmo mais', etc... A realidade é que os futuros engenheiros gostam de dizer o quanto o curso de engenharia é difícil.

O conceito de difícil é difícil de definir. A verdade é que o curso de engenharia requer raciocínio lógico e um fundamento matemático e físico muito sólido. Sim, é necessário estudar muita matemática se comparado com o ensino médio e, como eu vi na revista Veja uma vez, as pesquisas indicam que somente 11% dos alunos saem do ensino médio sabendo o que deveriam saber da matéria. 

Então existe esse argumento de que engenharia pode ser um pouco difícil por que, em média, o aluno não ingressa suficientemente preparado. Mas a engenharia é excessivamente difícil? Não. É um curso superior que exige dedicação tanto quanto outros cursos superiores.

Porém cursos como administração, design e etc são motivos de piadas nas rodas de estudantes de engenharia. Categorizados como cursos fáceis são ridicularizados tanto por alunos quanto por alguns professores. Frases do tipo: "Se você não consegue entender a matéria, tenta fazer um curso mais fácil, tipo administração" são bordões comuns no ambiente acadêmico da engenharia.

Mas é claro que isso, por si só, não satisfaz o ego desses indivíduos. Ainda é preciso mais. Cursos de engenharia mais tradicionais, como civil, elétrica e mecânica ridicularizam os cursos mais recentes como alimentos. Cursos de engenharia com maior carga matemática (e.g. elétrica e controle) ridicularizam cursos de engenharia com menor carga matemática.

A esse tipo de indivíduo recomendo que vá buscar um auxílio psicológico. Ah, esqueci, eles menosprezam os psicólogos também. Pois que vivam na mediocridade deles.

Trotes

Quero iniciar pontuando algumas coisas:

1) Me orgulho muito dos cursos de engenharia da UCS. Até onde sei não tem trote em nenhum curso de engenharia. Eu não sofri trote quando entrei e agora como veterano nunca ouvi falar desse tipo de prática.

2) Esse assunto é ideal para desabafar por escrito. Quem já conversou presencialmente comigo sobre esse tema sabe que eu perco a calma. Eu não consigo argumentar ponderadamente sobre esse tema pois ele me causa uma indignação no sentido literal do termo (sentimento de cólera ou de desprezo experimentado diante de indignidade, injustiça, afronta; repulsa, revolta).

Dito isso, vamos adiante.

Inadmissível.

Essa é minha opinião sobre os trotes. Mas preciso desenvolver minha linha de pensamento, então vamos começar pelo que eu entendo como trote.

Eu presenciei ao vivo apenas um trote na minha vida, do curso de direito da UCS, que relatarei nas próximas linhas.

Os veteranos obrigam os novatos a ficarem ajoelhados na frente do bloco de direito. O locutor dos veteranos grita frases que os calouros devem repetir. Frases que me causam repulsa, que nada tem a ver com o ambiente acadêmico. Frases com temática de álcool, festas e subordinação para com os veteranos. Enquanto isso uma pessoa é encarregada de monitorar os calouros. Se algum deles tenta se levantar, ou se desequilibra, recebe aos gritos ordem para voltar a posição.

"Juro acreditar no direito como a melhor forma para a convivência humana. Juro fazer da justiça uma consequência normal e lógica do direito. Juro confiar na paz como resultado final da justiça. E, acima de tudo, juro defender a liberdade, pois sem ela não há direito que sobreviva, muito menos justiça, e nunca haverá paz..."

Esse é um trecho do juramento do curso de direito que achei na internet, em um PDF de uma universidade do Espírito Santo. Não é coerente com as atitudes descritas.

Não é raro abrir um site de notícias do Brasil e ver uma matéria dessas pelo menos uma vez ao ano:

http://noticias.terra.com.br/brasil/cidades/viver-sp/blog/2014/02/22/morte-de-calouro-da-usp-completa-15-anos/

http://g1.globo.com/fantastico/noticia/2014/04/vivi-os-piores-momentos-da-minha-vida-diz-jovem-sobre-trotes.html

Pois vejamos o juramento da medicina nos diz:

"...

Eu manterei por todos os meios ao meu alcance, a honra e as nobres tradições da profissão médica;

Meus colegas serão minhas irmãs e irmãos;

Eu não permitirei que concepções de idade, doença ou deficiência, religião, origem étnica, sexo, nacionalidade, filiação política, raça, orientação sexual, condição social ou qualquer outro fator intervenham entre o meu dever e meus pacientes;

Eu manterei o máximo respeito pela vida humana;

Eu não usarei meu conhecimento médico para violar direitos humanos e liberdades civis, mesmo sob ameaça;

Eu faço estas promessas solenemente, livremente e pela minha honra"

Você enxerga concordância entre essas palavras e as notícias mostradas anteriormente? Não consegue, não é? Pois não existe concordância. E por favor, não me entendam errado. Não estou dizendo que apenas os cursos com juramentos bonitinhos precisam abolir os trotes. Os trotes devem ser erradicados do ambiente acadêmico, onde estão enraizados em instituições de respeito do nosso país.

Quero ainda combater outro argumento: Mas o trote é voluntário, participa apenas quem quer.

Deixe-me expor a situação tal como ela é. O indivíduo acaba de sair do ensino médio e ingressa no ensino superior. Ele agora está inserido em um ambiente novo e cercado de pessoas desconhecidas. É natural do ser humano querer socializar e interagir com os outros. Tanto pessoas na mesma situação dela (outros novatos) quanto com as pessoas que estão em uma posição academicamente mais elevada, como os veteranos.

O problema é que os veteranos exigem como moeda de troca para a socialização a submissão daqueles indivíduos as suas práticas sádicas.

O calouro percebe então que o início de sua vida acadêmica não será tão acolhedor se ele não participar do trote. Ele percebe que sua relação com os colegas mais experientes não será tão agradável se ele não participar do trote. Isso não é uma escolha livre. Houve uma pressão externa nesse indivíduo.

O indivíduo então se submete ao trote contra sua vontade (embora algumas vezes ele mesmo acredite que seja por livre escolha) e, futuramente, aplica essa pressão nos calouros da vez.

Cabe as instituições reprimirem veementemente esse tipo de prática. As faculdades e universidade precisam entender que por trás do bom profissional é necessário um bom ser humano. E alguém que joga um rapaz de 22 anos, que não sabe nadar, dentro de uma piscina, contra sua vontade, não é um bom ser humano.

Chega de escrever por hoje.

Diário de Pipocos!

Relatos dos choques que eu já tomei. Não estão datados, mas a ideia é só publicar esse post que está como rascunho faz muito tempo.

Relato 1:

Hoje consegui a proeza de levar um choque. Foi uma situação cotidiana. Estava na bancada, com a pulseira anti-estática colocada. Havia um equipamento desligado e eu estava encostado na carcaça do mesmo. Então, para ajustar a pulseira anti-estática, coloquei a outra mão no plugue do terra. E então eu tinha fase (220Vca) em uma mão e terra na outra. Essa é a pior situação para levar choque, quando a diferença de potencial é de um braço ao outro, pois facilita que a corrente transite pelo coração. Analisando o equipamento percebi que dependendo da forma como se plugava a flecha na tomada, o fase ou o neutro ficavam na carcaça. É por causa de coisas assim que muita gente morre.

http://www.praquempedala.com.br/blog/atleta-sofre-choque-eletrico-apos-ironman-brasilia-e-falece-no-local-do-evento/

Obs.: Não façam as coisas mal feito, ainda mais quando o trabalho de vocês pode envolver a vida de outras pessoas.

Relato 2:

Hoje na casa do meu amigo levei um choque. Ele tem um carregador de pilhas e a fiação que vai ligada na tomada estava gasta, expondo os condutores. Sem perceber encostei nos fios e levei um choque. Fiquei muito bravo. O cara não é ignorante nessa área, pois ele é técnico mecatrônico. Custa passar fita isolante? Passado o susto, isolei os fios com fita isolante eu mesmo.

Obs.: Não sejam preguiçosos com esse tipo de coisa.

Relato 3:

Hoje levei um choque no banho. O regulador de temperatura do chuveiro é de plástico, que é um material isolante. Mas devido ao vapor de água ocorreu uma condensação nessa peça, depositando sobre a mesma uma fina camada de água, suficiente para eu levar um choque no banho. A pessoa está nua, descalça e toda molhada. Desagradável levar choque nessas condições.

Obs.: Chuveiro é complicado. Tentem não trocar a temperatura com ele ligado.

Relato 4:

Hoje eu levei choque numa crepeira. Eu tava mexendo no recheio com uma faca e levei um choque. Mas o crepe estava bom.

Obs.: Não mexam nesses equipamentos com objetos metálicos. Usem utensílios de teflom, que além de não riscar o revestimento da crepeira (que também costuma ser de teflom) evitam esse tipo de situação.

Mas não se preocupem comigo. Estou bem! Sobrevivi sem sequelas a todos os episódios relatados, que compratilho para mostrar situações cotidianas que podem ser perigosas. Tomem cuidado. Abraço e até a próxima.

Soma Infinita: +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1... = 0,5

Olá a todos. Iniciando com atraso os posts desse novo ano maravilhoso que é 2016, que já nos brindou com um dia a mais no mês de fevereiro, vamos trabalhar uma questão interessante cujos desdobramentos são de explodir a mente: se somarmos um e subtrairmos um infinitamente, chegamos a qual resultado?

Já adianto que existem 3 respostas possíveis para esse problema, Duas são diretas e, na minha opinião, desinteressantes. A terceira é o foco desse post, pois é a mais legal. Sem mais delongas, vamos iniciar.

Primeira resposta: 0

Para chegar nessa resposta simples, vamos combinar uma notação. Vamos dizer que essa soma que queremos calcular se chama S. Assim eu tenho a seguinte equação:

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

Nós poderíamos adicionar parênteses no lado direito dessa equação sem alterar o sentido dela. Assim ela se torna:

S = (+ 1 - 1) + (+1 - 1) + (+1 - 1) + (+1 - 1) + ...

Cada agrupamento de (+1 - 1) resulta, obviamente, em 0. Assim nós poderíamos reescrever a equação como sendo:

S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

S = 0

Segunda resposta: +1

Para chegar nessa resposta vamos utilizar um recurso similar ao utilizado anteriormente. Porém, dessa vez, deixaremos a primeira parcela fora dos parênteses, reescrevendo a equação da seguinte forma:

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

S = + 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + ...

Novamente chegamos a uma situação em que cada agrupamento no interior dos parênteses vale 0. Poderíamos então reescrever a equação na forma:

S = +1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

S = +1

Terceira resposta: +0,5

Essa resposta é um pouco mais elaborada que as outras, mas igualmente compreensível e muito mais interessante. Vamos começar escrevendo a seguinte equação já conhecida.

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... (Equação 1)

Nós poderíamos multiplicar ambos os lados da equação por (-1) sem alterar a igualdade. Ou seja, podemos trocar o sinal de tudo sem alterar a equação, reescrevendo-a da seguinte forma:

- S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (Equação 2)

Perceba que eu nomeei arbitrariamente as equação somente por propósitos explicativos. Eu vou reescrever agora a equação 1 colocando parênteses que se estendem até o infinito após o primeiro termo:

S = + 1 + (- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...)

Note que tudo que está dentro dos parênteses é igual a equação 2, que é igual a -S. Então podemos reescrever:

S = + 1 - S

Isso nos leva que 2*S = +1 e que S = +0,5.

Fantástico. Demonstramos que a soma infinita de termos inteiros pode resultar em um termo não inteiro. Mas entendo que a resposta cause desconforto, então forneço uma interpretação pessoal. Imagine que você não tenha dinheiro algum, e um amigo seu lhe dá durante um dia 1 real (o que equivale a somar um), mas no dia seguinte lhe toma de volta esse 1 real (o que equivale a subtrair um). Ou seja, durante um dia você tem um real e durante o dia seguinte não tem nada novamente. Você pode interpretar que você continua sem nada (resposta 1), que está 1 real mais rico (ou menos pobre, resposta 2) ou que, na média, você tem 50 centavos (meio real, resposta 3).

Por hoje era isso. Para dúvidas, sugestões e/ou críticas, deixe um comentário. Lerei-os com prazer. Abraço e até a próxima.