O Pentágono Resistivo

Olá pessoal. Que beleza, recém saíram da Páscoa, estavam comendo chocolate enquanto eu estava fazendo este post! Enfim, é a vida. Mas eu achei um problema que eu considerei legal, e vem de um vestibular bastante conhecido. A universidade é a Mackenzie de São Paulo. É uma universidade que iniciou suas atividades em 1870 e, de lá pra cá, formou muitos alunos notáveis. Enfim. O enunciado do nosso problema de hoje é mais ou menos assim:

Cinco fios de 40 cm de comprimento e área da seção transversal de 1 mm² de uma liga metálica de resistividade são ligados de forma a se obter um pentágono regular. A resistência elétrica medida entre dois vértices consecutivos desse pentágono é:

Esse exercício tem apenas um ponto crítico, onde a análise e o conhecimento de eletrônica são importantes. Após esse ponto é só efetuar corretamente os cálculos e obter a resposta. O ponto é: vamos considerar dois vértices consecutivos A e B. A resistência entre A e B não é só a resistência entre o fio que liga A e B. Temos que considerar a resistência dos outros quatro fios que formam uma associação paralela. Desenhando (sim, no paint), vemos claramente esse detalhe.

Para calcular a resistência dos 40 cm de fio que formam cada lado do pentágono, usamos a 2ª Lei de Ohm. Ela enuncia o seguinte:



Onde R é a resistência em ohms, L é o comprimento em metros, A é a área de seção transversal em metros quadrados e (letra grega rô) é a resistividade do condutor, em ohms metro.

Primeiro devemos converter as unidades dadas no exercício para as unidades compatíveis com a expressão matemática. Após isso, substituindo na expressão os valores que temos no exercício, obtemos:





Obs.: O denominador da fração mudou pois devemos converter a área da seção transversal de milímetros quadrados para metros quadrados.

Após resolvermos a expressão, obteremos:



Sabendo que a resistência entre A e B é um fio desses, em paralelo com 4 fios desses em série, devemos então, por fim, calcular o valor da associação.







E, finalmente, descobrimos a resistência entre dois vértices consecutivos quaisquer desse pentágono. Esse exercício é fácil, porém devemos sempre tomar cuidado para não cairmos em erros simples, como, nesse caso, esquecer da associação paralela. Os vestibulares sabem onde podemos errar, e a resposta errada mais comum sempre está entre as alternativas.

E por hoje era só isso. Se cuidem e estudem bastante. Um abraço e, segunda que vem, estarei aqui de novo, no mesmo blog, no mesmo horário, trazendo mais uma questão para resolvermos juntos. Até a próxima!