Transistor BJT em AC: Análise de Amplificador (1) - Resistência de Entrada e Saída e Modelo PI

     Bom dia a todos nesta manhã de sábado pós-feriadão. Ainda de minha cama começarei a escrever sobre o modelo AC do transistor (começaremos nosso estudo pelo modelo PI). Depois falaremos sobre a resistência de entrada e saída do amplificador analisado no último post. Por fim vamos simular o circuito apresentado e comparar com os resultados do modelo.

     O modelo AC do transistor é um circuito que para sinais AC se comporta da mesma forma que o transistor. Esse modelo pressupõe algumas coisas, tais que o transistor está polarizado em DC, que ele opere o tempo todo na região ativa (nunca entre em corte ou saturação) e que a amplitude do sinal que incide na base do transistor não exceda muito os 10 mV. Como já explicado, se o sinal exceder muito esse valor, o transistor começa exibir propriedades não-lineares e o modelo proposto perde a validade. Na Figura 1 está apresentado um dos modelo comentados.

Figura 1: Modelo AC \(\huge \pi\) do transistor bipolar de junção (BJT)

     Existe outro modelo possível, que é o modelo T. Não vou tratar dele agora, mas dedicarei um post para discutir sobre a equivalência dos dois modelos.

     O valor de \(r_{\pi}\) mostrado no modelo é a resistência AC da junção base-emissor do transistor. Já deduzimos como chegar nele nos posts anteriores. A fonte de corrente controlada representa a amplificação de corrente que é característica do transistor BJT.

     Para utilizar o modelo na análise de um circuito, basta que coloquemos os elementos do circuito sobre este modelo, lembrando que na análise AC todas as fontes DC devem ser desativadas (fontes DC de tensão devem ser curto-circuitadas e fontes DC de corrente devem ser abertas). Aplicando este método, chegamos ao circuito da Figura 2.

Figura 2: Modelo AC aplicado no problema proposto

     Podíamos ter utilizado esse modelo desde as análises do último post, onde obtivemos o ganho AC e a máxima excursão de sinal. Preferi não fazer assim para mostrar que o modelo é decorrência da compreensão do circuito e que, somente com a compreensão (sem conhecimento prévio do modelo) é possível atingir os mesmos resultados.

     Deste modelo percebemos que a resistência de entrada é 69300 Ohms. Vemos também que a resistência de saída é 1 KOhm. Se você não consegue enxergar como o resistor de 1 KOhm, que está em paralelo com a saída, pode ser a própria resistência de saída, perceba que o mesmo está em paralelo com uma fonte de corrente. Através de conversão de fonte, poderíamos transformar a fonte de corrente com resistor em paralelo em fonte de tensão com resistor em série, o que evidencia o resistor de 1 KOhm como resistência de saída.

     Na simulação vou utilizar o software Microcap (versão Trial). Na Figura 3 está o circuito montado e na Figura 4 está o gráfico da simulação. Como parâmetro, foi utilizada uma frequência de 1 kHz na fonte AC, com amplitude de 300 mV.

Figura 3: Circuito simulado

Figura 4: Resultado da simulacao

     Utilizando os recursos do software eu posso determinar o ganho, que ficou em 4,06. As diferenças entre o ganho calculado e simulado podem ter origem na nossa aproximação de pequenos sinais e outros componentes do modelo AC que não estão considerados em nosso modelo. Por fim, se aumentarmos a amplitude da tensão de entrada para 1 V, temos o resultado mostrado na Figura 5.

Figura 5: Saída quando entrada excede a aproximação de pequenos sinais.

     Pois bem, foi observado um ganho de 3,98, ainda muito próximo da aproximação de pequenos sinais, embora eu tenha excedido a entrada ao dobro da permitida. Não faço ideia do motivo disso ter acontecido. Será que os parâmetros de simulação que eu atribuí não contemplam o modelo exponencial do transistor? Será que tudo que aprendemos sobre aproximação de pequenos sinais é uma mentira? Será que eu fiz alguma burrada? São todas hipóteses plausíveis. No próximo post eu postarei o que descobri sobre o caso, com uma explicação.

     Por hoje era isso. Se você tem um comentário, crítica, sugestão ou, ainda melhor, descobriu o que fiz de errado para que a aproximação de pequenos sinais tenha sido válida para entrada de 1 V, deixe um comentário ou envie um e-mail. Além disso, se tiver problemas na visualização dos itens em LaTeX, deixe um recado também. Abraço a todos e até a próxima. 

Transistor BJT em AC: Análise de amplificador (1) - Ganho de Tensão

     Boa tarde a todos. Aproveito essa tarde de quinta-feira (feriado!) para analisar o circuito da Figura 1 aplicando os resultados obtidos nos últimos posts. Analisaremos diversas características dele, como seu ganho de tensão, sua resistência de entrada e de saída. Depois vamos, a partir dele, definir um modelo AC do transistor e, por fim, vamos simular o circuito e o modelo. Mas, no post de hoje, vamos apenas determinar seu ganho de tensão e a máxima tensão de entrada que mantém a aproximação de pequenos sinais válida. Sem mais tardar, mão a obra.

Figura 1: Circuito a ser analisado

     O primeiro passo é executar a análise DC. Para isso consideramos a entrada alternada zerada. Então calculamos a malha mostrada na Figura 2.

Figura 2: Análise DC (fonte senoidal igual a zero)

$$ \huge -2 + 68K \times I_B + V_{BE} = 0 $$

     Substituindo a corrente de base pela expressão da junção base-emissor do transistor, obtemos:

$$ \huge -2 + 68K \times I_oe^{\frac{V_{BE}}{V_T}} + V_{BE} = 0 $$

     Resolvendo a expressão numericamente, chega-se a um valor de \(V_{BE}\) de 0,6975 V. Portanto \(I_B\) é 19,11 uA. Observe que tivemos bastante trabalho para chegar nesse valor. Foi necessário utilizar métodos numéricos para calcular a corrente da base. Para simplificar, podemos assumir que a queda de tensão na junção base-emissor é sempre igual a 0,7 V. Calculando com essa simplificação chegamos rapidamente em uma corrente de base de 19,12 uA, o que representa um erro de 0,05 %. Considerando aceitável esse erro, faremos essa simplificação em todos os exercícios posteriores para diminuirmos nosso trabalho.

     Sabendo a corrente de base, podemos calcular a corrente de coletor, que será 300 vezes maior e, portanto, igual a 5,736 mA. Devido a queda de tensão no resistor que está no coletor, a tensão DC no terminal de saída do nosso amplificador é 6,624 V.

     Nossa análise DC está concluída e o resultado dela expresso na Figura 3.

Figura 3: Resultado da análise DC

     Na nossa análise AC, ignoramos (ou seja, zeramos) a fonte DC de 2 V. Além disso, vamos calcular a resistência AC da base do transistor:

$$ \huge r_{\pi} = \frac{V_T}{I_B} \approxeq 1300  \Omega$$

     Portanto, do ponto de vista da fonte AC, é como se a junção base-emissor apresentasse uma resistência de 1300 Ohms, que está em série com o resistor da base de 68 KOhms. Assim, a resistência total enxergada pelo sinal de entrada é 69300 Ohms. Dessas informações podemos fazer os seguintes cálculos:

Corrente AC de Base

$$ \huge i_b = \frac{v_{in}}{69300} $$

Tensão AC de Saída

$$ \huge v_{out} = - \beta \times i_b \times 1K $$

     O valor negativo significa que a tensão de saída está 180° defasada da tensão de entrada. Para entender isso, perceba que quando o sinal de entrada aumenta, a corrente de base aumenta. Isso provoca um aumento na corrente de coletor. Mais corrente de coletor causa uma queda de tensão maior no resistor, que faz a tensão no terminal de saída diminuir. Então o sinal negativo nos informa que quando a tensão de entrada sobe a tensão de saída desce.

     Substituindo uma equação na outra e isolando a razão saída por entrada (ou seja, o ganho do amplificador):

$$ \huge A_v = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{-\beta \times 1K}{69300} = -4,33 $$

     Lembrem-se que no último post eu comentei que conforme a tensão sobre \(r_{\pi}\) aumenta, mais erro obtemos da aproximação de pequenos sinais. Se nós considerarmos que a maior tensão válida em \(r_{\pi}\) é 10 mV, quanta tensão pode existir na entrada?

     Perceba que na entrada existe um divisor de tensão para o sinal AC, que consiste do resistor de base de 68 KOhms e da resistência AC de 1300 Ohms. Se sobre a resistência AC nós admitimos até 10 mV, na entrada nós podemos aplicar até 0,533 V. Como nós sabemos que o ganho é 4,33, a tensão de saída para essa entrada é 2,31 V. Se a tensão de entrada subir muito mais que meio volt, haverá distorção na saída, de forma que nossos cálculos deixam de ser válidos.

     Note que na análise DC a saída está em aproximadamente 6 V. Sendo o circuito alimentado com 12 V, somos tentados a dizer que o sinal de saída pode variar aproximadamente 6 V para cima (atingindo 12 V) e 6 V para baixo (atingindo 0 V). Essa variação máxima que determinamos na análise DC se chama máxima excursão DC. Mas nossa análise AC nos diz que a saída pode subir e descer apenas 2,31 V, que é a máxima excursão AC. O que isso significa?

     Embora a saída possa, de fato, subir e descer 6 V, ela fará isso de forma não linear. Se eu entrar com um sinal senoidal de 2 V, seria esperado na saída um sinal senoidal de 4,62 V. Mas isso não acontece, pois quanto mais a entrada ultrapassa meio volt, mais distorcido o sinal de saída se torna. Esse fato ficará claro quando simularmos o circuito.

     Por hoje era isso. Calculamos o ganho de um amplificador utilizando o modelo de pequenos sinais. Explicamos o significado de máxima excursão de sinal DC e AC e calculamos até que ponto nossa aproximação de pequenos sinais é válida. No próximo post vamos definir os valores de resistência de entrada e saída do nosso amplificador e simular o circuito, evidenciando as características determinadas na análise. Qualquer sugestão, crítica ou dúvida, deixem um comentário ou enviem um e-mail. Ajam de forma similar se tiverem problemas na visualização das equações. Abraço.

Transistor BJT em AC: Truncamento da Série de Taylor

     Noite fria de domingo, que se encerra comigo na cama, fugindo do frio da serra gaúcha. Mas acho que algo no fim de semana ficou em aberto. Uma ponta solta que pretendo atar neste momento. De onde vem a aproximação de pequenos sinais?

     No post "Transistor BJT em AC: De onde vem a aproximação de pequenos sinais?" foi feita a seguinte aproximação:

$$ \huge e^{\frac{v_{be}}{V_T}} \approxeq (1 + \frac{v_{be}}{V_T})$$

     De onde isso surgiu? E até onde isso é válido? Essas são as perguntas que pretendo discutir nesse post.

     Da série de Taylor, sabemos que:

$$ \huge e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}+ ...$$

     Porém essa série é infinita. Se quiséssemos computar um valor de \(e^x\) com ela, ainda precisaríamos realizar infinitas somas, o que não é prático. Mas podemos utilizar um raciocínio interessante para nos poupar trabalho. Perceba que para valores de x menores que 1, quanto menor o valor de x menos os termos de maior ordem influenciam. E se os termos de maior ordem não influenciam muito, podemos aproximar o cálculo apenas com os dois primeiros termos da série. Isso se chama truncar (cortar uma série infinita em algum ponto). O truncamento é necessário para processos computacionais (sejam eles a mão ou em computadores), mas inevitavelmente inserem algum erro no processo. Vamos resolver dois exemplos:

Exemplo 1: \(e^{0,1}\)

$$ \huge e^{0,1} = 1.105170918075648 $$

$$ \huge 1 + x = 1 + 0,1 = 1,1 $$

$$ \huge erro = \frac{\vert 1,1 - e^{0,1} \vert}{e^{0,1}} = 0,468\% $$

Exemplo 2: \(e^{0,5}\)

$$ \huge e^{0,5} = 1.648721270700128 $$

$$ \huge 1 + x = 1 + 0,5 = 1,5 $$

$$ \huge erro = \frac{\vert 1,5 - e^{0,5} \vert}{e^{0,5}} = 9,02\% $$

     Percebemos que quanto maior o valor de x, mais impreciso fica o resultado tomado apenas pelos dois primeiros termos da série. Podemos plotar o erro para termos uma ideia melhor.

Figura 1: Erro de aproximação em função do valor de x

     

     Então percebemos, graficamente, que quanto maior o x, mais imprecisa fica nossa aproximação. Mas até que ponto podemos aproximar com os dois primeiros termos da série? Depende de quanto erro você está disposta a aceitar. Para valores da faixa de 5%, podemos trabalhar com x até 0,3 com segurança. Lembrando que x é, na verdade, a razão entre a tensão AC na junção base-emissor pela tensão térmica, temos:

$$ \huge v_{be_{max}} = 7,5 mV $$

     Mas a literatura sobre isso pode variar. No meu curso de Eletrônica I considera-se válida a aproximação de pequenos sinais para uma tensão AC entre base e emissor de 10 mV. Minha intenção nesse post não é bater o martelo sobre essa questão. Apenas mostrar que há um erro e que ele aumenta de acordo com a amplitude da tensão AC nessa junção.

     Por hoje era isso. Agora posso dormir descansado, sabendo que não deixei esse assunto em aberto. Para quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões, usem os comentários ou enviem um e-mail. Façam o mesmo se tiverem problemas em visualizar as equações. Abraço e até a próxima.

Transistor BJT em AC: De onde vem a aproximação de pequenos sinais?

     Bom dia a todos. Do calor da minha cama, onde ainda estou deitado em uma fria manhã de sábado, vou discorrer sobre o que sei e pesquisar o que não sei sobre o modelo de pequenos sinais que utilizamos na análise AC de transistores BJT (inglês, Transistor de Junção Bipolar). Para começarmos, vamos analisar o circuito da Figura 1.

Figura 1: Circuito DC + AC

     A primeira análise que faremos é DC e, portanto, vamos assumir que \(v_{in} = 0\). Isso significa dizer que não há, por enquanto, sinal AC na entrada de nosso circuito. Dessa análise surge a seguinte equação:

$$\huge I_B = \frac{V_{B} - V_{BE}}{R_B} = I_s e^{\frac{V_{BE}}{V_T}}$$

     Onde \(V_T\) é a tensão térmica. Para uma temperatura de 20°C vamos considerá-la como 25 mV. \(V_{BE}\), por sua vez, é a tensão contínua sobre a junção base-emissor do transistor. Essa tensão pode ser determinada se conhecermos o valor de \(V_B\), \(R_B\) (que são do nosso circuito) e \(I_s\) (que é uma característica do transistor que estamos usando, e cujo valor pode ser encontrado no datasheet).

     Agora vamos determinar uma equação semelhante para a tensão AC de entrada. Para isso vamos considerar a fonte DC (\(V_B = 0\)). Nesse ponto alguém poderia exclamar: "Mas fazendo \(V_{B} = 0\) a junção base-emissor distorceria o sinal AC \(V_{in}\), por não estar polarizada!!!!!" Mas lembre-se que a junção base-emissor já está polarizada. Foi justamente essa polarização que determinamos durante a análise DC. O que estamos analisando agora são pequenas variações de tensão sobre aquela polarização.

     Desenvolvendo a equação, chegaremos ao seguinte resultado (semelhante a análise DC):

$$\huge i_b = \frac{v_{in} - v_{be}}{R_B} = I_s e^{\frac{v_{be}}{V_T}}$$

     A tensão sobre a junção base-emissor do transistor é a superposição (ou seja, a soma) da parcela DC (\(V_{BE}\)) e AC (\(v_{be}\)). Assim, chegamos na equação:

$$ \huge I_b = I_s e^{\frac{V_{BE} + v_{be}}{V_T}} = I_s e^{\frac{V_{BE}}{V_T}} e^{\frac{v_{be}}{V_T}} $$

     Se repararmos na primeira equação, que chegamos como resultado da análise DC, podemos fazer a seguinte substituição:

$$ \huge I_b = I_B e^{\frac{v_{be}}{V_T}} $$

     Se \(v_{be} << V_T\) podemos fazer a seguinte aproximação de pequenos sinais (esse passo requer uma explicação mais detalhada, que será dada em outra oportunidade):

$$\huge e^{\frac{v_{be}}{V_T}} \approxeq (1 + \frac{v_{be}}{V_T}) $$

     Substituindo essa aproximação na equação anterior:

$$ \huge I_b = I_B + I_B \frac{v_{be}}{V_T} $$

     Por fim, vamos substituir a razão entre \(I_B\) e \(V_T\) por um valor especial de resistência, chamada resistência pi. Assim:

$$ \huge I_b = I_B +\frac{v_{be}}{r_{\pi}} $$

     Essa resistência \(r_{\pi}\) é a resistência AC do transistor no circuito em que se encontra. Perceba que ela depende da corrente de base DC, ou seja, depende de como polarizamos nosso circuito. Também depende da temperatura, visto que a tensão térmica está em sua equação.

     Se você achou isso confuso, não se sinta mal. Você não está sozinho. Mas tenho boas novas para você: é possível simplificar o modelo. No próximo post vamos descobrir o que nos permitiu substituir a exponencial quando fizemos a aproximação de pequenos sinais e discutir até que ponto essa ideia é válida.

     E por hoje era isso (até por que 10:30 já constitui horário para sair da cama). Em caso de dúvida, correções ou sugestões, deixe um comentário ou envie um e-mail (prefiro comentário, please). Se tiverem dificuldades de visualizar as equações, também avisem! Abraço a todos e até a próxima.

300.000 Visualizações do Blog!

Olá a todos. Esse post é simplesmente para comemorar a marca de trezentas mil visualizações neste blog! \o/

Nestes pouco mais de 5 anos de blog escrevi sobre eletrônica, matemática e física. Me arrisquei e escrevi um pouco sobre computação e biografias de cientistas importantes. Fiz sucesso resolvendo algumas questões e ousei publicar meros devaneios provenientes da minha cabeça. Nesse meio tempo muitas coisas aconteciam na minha vida pessoal. Comecei a graduação em engenharia de controle e automação, iniciei minha carreira profissional, me envolvi em relacionamentos, fiz pesquisa científica, publiquei um artigo e o apresentei em congresso. Viajei, ri, chorei, achei que não ia dar e achei que já estava bom. Olhando para trás vejo quanta coisa foi conquistada e me orgulho da trajetória que estou trilhando.

Porém o blog ficou em segundo plano. Embora me esforce para responder os comentários e as dúvidas por e-mail, a frequência de publicação diminuiu. Isso foi inevitável, mas não me desculpo por isso. Espero que entendam que isso é necessário para que outras coisas venham, coisas melhores.

Portanto não vou prometer aumentar a frequência de posts ou expandir o conteúdo. O que vou prometer é manter o blog por aqui e sem propaganda. Vou tentar continuar respondendo os comentários e as dúvidas por e-mail. E sempre que tiver vontade, quando sobrar tempo e me bater aquela saudade de estar neste ambiente virtual, vou escrever. Sobre o que? Sobre eletrônica, matemática e física, sobre pessoas que eu admiro e meus devaneios!

Agradeço a todos que leem este blog e espero ter ajudado vocês de alguma forma.

Até a próxima e nunca parem de aprender!!!