As Bases Matemáticas da Tensão Alternada

Olá a todos. Venho através deste post lançar as bases matemáticas para o estudo e a compreensão dos fenômenos em tensão alternada. Dessa forma, é possível para eu fazer um post sobre tensão alternada sem me preocupar se alguém não irá compreender alguma expressão ou ideia. Espero que este post fique bastante claro e que todos tenham suas dúvidas esclarecidas, podendo então aprofundar um pouco mais o estudo da tensão alternada.

Primeiro ponto que será abordado será a função trigonométrica que representa um sinal alternado. A função em questão assume a seguinte forma:



Essa é uma função, que relaciona valores de tensão (variável dependente) a valores de tempo (variável independente). Como podemos ver, essa função envolve o seno. De que maneira? O sinal estudado em questão é uma senóide, que se origina da função seno. Porém a função seno assume valores de, no máximo, 1 e -1. Por isso essa função seno é multiplicada pelo valor de tensão de pico, para que o gráfico do sinal "alcance" os valores de pico positivo e negativo.

Outra característica importante no estudo de uma função é o estudo de sua raiz, ou como se chama, o zero da função. Assumindo que vemos que iremos obter:



Delta theta () representa a fase inicial do sinal. Se esse termo não existir (ou seja, for zero) significa que o sinal começa no ponto zero. Se esse termo não for nulo, isso significa que a tensão no instante zero não será zero, mas corresponderá ao seno de multiplicado pelo valor de tensão de pico. É interessante observar que se corresponder a 90º, a tensão no instante zero será igual ao valor de pico positivo (para +90°) ou negativo (para -90°). Com isso, dizemos que o sinal tem uma fase inicial de . Também gostaria de deixar claro que existem outras letras gregas que também são usadas para representar esse ângulo.

O segundo ponto a ser abordado é a representação por números complexos. Gostaria de começar explicando o que são números complexos. Na escola aprendemos que não existe nenhum número real que seja raiz de um número negativo. Isso é verdade, não há nenhum número real que satisfaça essa propriedade. Porém o que não é explicado é que existem números que não são reais e resolvem, por exemplo, a seguinte expressão:



Os números que resolvem raízes negativas são chamados imaginários. Veja a linha de raciocínio seguida pelos matemáticos:

* -4 pode ser obtido pela multiplicação de -1 por 4, então:



* Raiz quadrada de quatro, como bem sabemos, é dois. Então:



* Agora vamos supor que exista uma unidade chamada tal que , então:



E assim foi criado o conceito de número imaginário. Um número que, a princípio, não existe, mas nos serve para resolver equações.

Sendo assim, com o passar do tempo, a conhecida reta real (a reta que contém todos os números reais) ganhou mais um eixo perpendicular, o eixo imaginário. Assim é possível dispor todos os números conhecidos em um plano cartesiano, identificando-os pela sua parte real e pela sua parte imaginária.

Com isso foi percebido uma outra forma de representar esses mesmos números, conhecida como forma polar. Na forma polar, a gente informa o módulo (o comprimento) do vetor, e o ângulo entre esse vetor e o eixo "x" (eixo real). Mas é importante, quando se trabalha com os números complexos, ter a capacidade de converter da representação cartesiana para a forma polar. Isso é muito fácil e a explicação segue abaixo:


Quando temos a representação cartesiana, temos um número na forma . Esse número tem uma parte no eixo real e uma parte no eixo imaginário. Para determinar o módulo desse número, basta simplesmente aplicarmos o teorema de pitágoras. Então temos:



O ângulo desse número pode ser descoberto achando-se a tangente do número e depois aplicando a função ou . Então temos que:

com o ângulo em graus ou radianos, dependendo da programação de sua calculadora.

Para converter da forma polar para a cartesiana usamos um processo que é muito mais simples. Teremos um número na forma e teremos que passar para a forma onde:



e

.

Mas por que devemos aprender a fazer essa conversão, se as duas formas representam a mesma coisa? O principal motivo é que é mais comum, na área elétrica/eletrônica, representarmos na forma polar. Porém é muito mais simples efetuar somas e subtrações na forma cartesiana. Por isso é importante, para facilitar nossos cálculos, dominar essa técnica de conversão.

Para somar, usamos a forma cartesiana. A soma consiste em simplesmente somar as partes reais com as partes reais, e as partes imaginárias com as partes imaginárias. A subtração consiste no mesmo processo, porém diminuindo as partes reais e imaginárias.

Para multiplicar ou dividir, convém que os números estejam na forma polar. Para multiplicar na forma polar, nós multiplicamos o módulo e somamos os ângulos. Para dividir, basta dividir os módulos e subtrair os ângulos. Bastante simples.





Outra coisa que pode ser importante, para somar e subtrair usando o diagrama fasorial, é aprender a somar e subtrair vetores. Para isso usamos, principalmente, a regra do paralelogramo. Ele é um método geométrico bastante simples.

Consiste, basicamente, em desenhar os dois vetores com um mesmo ponto de origem e, a partir deles, traçar um paralelogramo. O vetor resultante da soma será aquele que vai do vértice de origem até o vértice oposto do paralelogramo. A figura abaixo exemplifica muito bem o método:

Para diminuir um vetor de outro, usamos o mesmo método, porém com uma observação. Se precisarmos efetuar , desenharemos o vetor e, ao desenharmos o vetor nós o inverteremos, ou seja, iremos girá-lo 180°. Após isso, é só efetuar a soma pelo método do paralelogramo.



Com isso, espero que ninguém tenha dificuldades para compreender a análise do sinal alternado, que envolve bastante da matemática aqui explicada. Qualquer dúvida, estamos aí e não se esqueçam, estudem muito!!! Abraço e até semana que vem.